Generelt har vi at

$$\begin{array}{c}\left(a+b\right)·\left(c+d\right)=ac+ad+bc+bd\\ \end{array}$$

Hvordan blir resultatet dersom parentesuttrykkene er like eller nesten like?

Før du leser videre, kan du prøve selv å regne ut uttrykkene nedenfor og se om du kan finne en forenklet måte å regne ut slike uttrykk på.

$$\begin{gathered} \left(a+b\right)\left(a+b\right)= \\ \begin{array}{ccc}& & \end{array} \\ \left(a-b\right)\left(a-b\right)= \\ \begin{array}{ccc}& & \end{array} \\ \left(a+b\right)\left(a-b\right)= \end{gathered}$$

Når vi multipliserer $$\left(a+b\right)$$ med seg selv, får vi kvadratet $${\left(a+b\right)}^2$$

$$\begin{array}{rcl}{\left(a+b\right)}^2& = & \left(a+b\right)·\left(a+b\right)\\ & & \\ & =& a·a+a·b+b·a+b·b\\ & & \\ & =& a^2+ab+ab+b^2\\ & & \\ & =& a^2+2ab+b^2\end{array}$$

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi to like ledd, $$ab+ab$$, som vi slår sammen til $$2ab$$.

Geometrisk ser du at arealet av det store kvadratet ovenfor med sidelengder $$a+b$$ er lik summen av arealene av de to like store lyse rektanglene og de to mørke kvadratene.

Dette resultatet er kjent som den første kvadratsetningen.

Vi multipliserer videre $$\left(a-b\right)$$ med seg selv og får kvadratet $${\left(a-b\right)}^2$$.

$$\begin{array}{rcl}{\left(a-b\right)}^2& = & \left(a-b\right)·\left(a-b\right)\\ & & \\ & =& a·a-a·b-b·a+b·b\\ & & \\ & =& a^2-ab-ab+b^2\\ & & \\ & =& a^2-2ab+b^2\end{array}$$

Her får vi to like ledd, $$-ab-ab$$ , som vi slår sammen til $$-2ab$$.

Ser du at vi kan illustrere dette geometrisk hvis vi tar utgangspunkt i et kvadrat med sider $$a$$?

Dette resultatet er kjent som den andre kvadratsetningen.

Vi multipliserer så $$\left(a+b\right)$$ med $$\left(a-b\right)$$.

$$\begin{array}{rcl}\left(a+b\right)·\left(a-b\right)& = & a·a-a·b+b·a-b·b\\ & & \\ \left(a+b\right)·\left(a-b\right)& =& a^2-ab+ab-b^2\\ & & \\ \left(a+b\right)·\left(a-b\right)& =& a^2-b^2\end{array}$$

Her får vi leddene $$ab$$ og $$-ab$$, som til sammen blir lik null og faller bort.

Ser du at vi kan illustrere dette også geometrisk ved å starte med et kvadrat med sidekanter $$a$$?

$$a^2-b^2$$ tilsvarer det lyse området i den første figuren nedenfor.

Hvis vi så tenker oss at vi flytter rektangelet som er merket med en stjerne, ser vi at det lyse området også tilsvarer $$\left(a+b\right)\left(a-b\right)$$.

Dette resultatet er kjent som konjugatsetningen eller også som den tredje kvadratsetningen.

Lær deg kvadratsetningene! Det er lett å falle for fristelsen til å la være å pugge kvadratsetningene og heller multiplisere hvert ledd i den ene parentesen med hvert ledd i den andre parentesen. Det vil ikke være særlig lurt.

Kvadratsetningene er nemlig spesielt nyttige til å faktorisere andregradsuttrykk, og da må du bruke dem «motsatt vei».

$$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{rcl}4{\left(x+2\right)}^2& + & {\left(2x-3\right)}^2-3\left(x-2\right)\left(x+2\right)\end{array}\\ & & \\ & = & 4\left(x^2+2·x·2+2^2\right)+\left({\left(2x\right)}^2-2·2x·3+3^2\right)-3\left(x^2-2^2\right)\\ & & \\ & =& 4\left(x^2+4x+4\right)+\left(4x^2-12x+9\right)-3\left(x^2-4\right)\\ & & \\ & =& \left(4x^2+16x+16\right)+\left(4x^2-12x+9\right)-\left(3x^2-12\right)\\ & & \\ & =& 4x^2+16x+16+4x^2-12x+9-3x^2+12\\ & & \\ & =& 5x^2+4x+37\end{array}$$

Ved CAS i GeoGebra