Midtnormalene og den omskrevne sirkelen

Løsning, Oppgave 1

Vi tegner en $∆\mathrm{ABC}$ i GeoGebra.

a) Vi konstruerer så midtnormalene på sidene i trekanten.

Vi observerer at midtnormalene skjærer hverandre i ett punkt!

b) Vi drar i hjørnene i trekanten slik at trekanten forandrer form.

Vi observerer at midtnormalene skjærer hverandre i ett punkt uansett hvilken form trekanten har. Det felles skjæringspunktet ligger ikke alltid inne i trekanten.

c) Vi kaller skjæringspunktet mellom midtnormalene for S og konstruerer en sirkel med sentrum i S og radius SC.

Vi observerer at sirkelen går gjennom alle tre hjørnene i trekanten!

d) Vi drar igjen i hjørnene i trekanten.

Sirkelen går alltid gjennom alle tre hjørnene i trekanten!

e) På grunnlag av observasjonene våre formulerer vi følgende hypotese:

I alle trekanter vil midtnormalene skjære hverandre i ett punkt.

En sirkel med sentrum i dette felles skjæringspunktet S og med radius lik avstanden fra S til et av hjørnene i trekanten, vil gå gjennom de to andre hjørnene.

f) Bevis

La $∆\mathrm{ABC}$ være en vilkårlig trekant. La m være midtnormalen til AB og n midtnormalen til BC. La S være skjæringspunktet mellom disse to midtnormalene.

Vi husker at midtnormalen på et linjestykke er det geometriske stedet for alle de punktene som ligger like langt fra de to endepunktene til linjestykket.

Det må bety at $\mathrm{AS}=\mathrm{BS}$ og $\mathrm{BS}=\mathrm{CS}$. Men da må $\mathrm{AS}=\mathrm{CS}$. Dette betyr at midtnormalen til AC også går gjennom punktet S, og at alle midtnormalene skjærer hverandre i ett punkt.

Videre må det bety at sirkelen med sentrum i S og radius lik AS også går gjennom hjørnene B og C.

Vi har da vist at hypotesen er riktig og vi har følgende setning: