Fagstoff

Eksponentiallikninger

Publisert: 20.03.2012, Oppdatert: 06.08.2018

 

Likninger med potensuttrykk der eksponenten er ukjent, kalles eksponentiallikninger. Vi kan bruke logaritmesetningen til å løse slike likninger. 

Gitt eksponentiallikningen

ax=b

Siden logaritmen til to like tall er like, er

lgax=lgb

Tredje logaritmesetningen gir da at 

xlga=lgb

Det gir løsningen på eksponentiallikningen 

x=lgblga

 

Eksempel 1

Vi skal løse likningen

     23x-1=16

Vi løser slike likninger ved å bruke logaritmesetninger.

23x-1  =  16lg(23x-1)=lg16              Når to tall er like, er også logaritmen til tallene like.  (3x-1)lg2=lg24              Tredje logaritmesetning  3x-1=4lg2lg2            Husk at lg2 er et tall3x=5x=53


 

TusenlapperHvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet?   
Eksempel 2

Anne har plassert 1000 kroner på en konto i banken. Renten er 6,0 % per år. Hvor lenge må pengene stå i banken før beløpet er fordoblet? 

Vi finner vekstfaktoren

1+6100=1,06

Vi kan da sette opp følgende likning der x er tiden pengene må stå i banken 

1000·1,06x=2·1000

 

Vi forsøker å løse likningen ved å bruke logaritmesetningene.


    1000·1,06x  =  2·10001,06x=200010001,06x=2lg1,06x=lg2    x·lg1,06=lg1,10  x=lg2lg1,06

 

 

Når en størrelse øker med p prosent, er vekstfaktoren 1+p100.

 

Her må vi bruke et digitalt verktøy, eller en logaritmetabell, for å få en tilnærmet verdi. I praktiske oppgaver løser vi derfor eksponentiallikninger i et CAS-verktøy.

Ved CAS i GeoGebra

Ekspontentiallikninger i GeoGebra. Foto  

Bilde koordinatsystemet 

Pengene må altså stå ca. 12 år i banken før beløpet er fordoblet. 

Vi kan også løse likningen grafisk. Se koordinatsystemet til høyre. Her har vi tegnet grafen til funksjonen f gitt ved

 f(x)=1000·1,06x 

og løst likningen 

f(x)=2000

grafisk.

 

 

 

Eksempel 3

Vi antar at innbyggertallet i Småby vokser med 1,5 % hvert år. Det bor i dag 13 000 personer i Småby. Hvor mange år går det før innbyggertallet er 15 000?

Vi finner vekstfaktoren

1+1,5100=1,015

Eksponentiallikning i GeoGebra. Foto Vi kan sette opp og løse følgende likning, som vi løser ved CAS i GeoGebra. Innbyggertallet vil være 15000 om snaue 10 år.

Eksempel 4

bruktbilerHvor mange år vil det gå før bilens verdi er halvert?

Kari kjøper en fire år gammel bil for 200 000 kroner. Bilen har sunket i verdi med 10 % hvert år siden den var ny, og Kari regner med at denne verdireduksjonen vil fortsette de neste årene.

Vekstfaktoren blir

                         1-10100=0,90

Bilens verdi V(x), x år etter at Kari kjøpte den, er da gitt ved

                          V(x)=200 000·0,90x

Av grafen til V kan vil lese at bilens verdi vil ha sunket til 100 000 kroner etter 6,6 år.

Avlesning på grafen viser også at bilens verdi for 4 år siden, altså da den var ny, var nærmere 305 000 kroner.

Når en størrelse avtar med p prosent, er vekstfaktoren 1-p100.

 

Koordinatsystem  Vi skal også se hvordan vi kan regne ut dette.

Ekspontentiallikninger i GeoGebra. Foto  Vi regner først ut hvor lang tid det går før bilens verdi har sunket til 100 000 kroner. Dette var det samme som vi fant grafisk.

Så regner vi ut hvor mye bilen var verdt for år siden.

Eksponentiallikninger i GeoGebra. Foto  

I eksempel 5 skal vi se litt annerledes på en eksponentiallikning.

Eksempel 5

     2·3x = 3·4xlg(2·3x)= lg(3·4xlg2+lg3x=lg3+lg4xlg2+x·lg3=lg3+x·lg4x·lg3-x·lg4=lg3-lg2x(lg3-lg4)=lg3-lg x=lg3-lg2lg3-lg4

Vi har her gitt svaret på eksakt form. Det kan ofte være greit når vi arbeider med teoretiske problemstillinger. På Del 1 av en prøve eller eksamen må du av og til oppgi svar på eksakt form fordi du ikke kan regne ut en tilnærmingsverdi uten bruk av digitalt verktøy. I praktiske oppgaver er det vanlig å bruke tilnærmingsverdier.

Eksempel 6

Av og til får du bruk for å løse likninger hvor det er flere ledd med potensuttrykk, som for eksempel

32x-4·3x-12=

Hva slags likning er dette? Her må vi tenke oss litt om.

Vi ser at i likningen inngår både 3 opphøyd i 2x og 3 opphøyd i x . Fra potensregningen vet du at 32x=(3x)2. Vi kaller nå 3x for u , og likningen vår blir slik

(3x)2-4·3x-12 = 0u2-4·u-12=0

Nå ser vi at vi har en andregradslikning med u som den ukjente.

Andregradslikningen har løsningen

                                    u2-4·u-12 = 0u=-4±-4)2-4·1·(-122·1=4±16+482=4±82u1=-2    u2=6

Nå er det viktig at vi tenker litt igjen …

Vi begynte med å sette 3x=u. Når vi nå har funnet at u=-2 eller  u=6, må det bety at 3x=-2 eller 3x=6.

Løsningen 3x=-2 gir ingen mening siden potensen alltid er positiv.

Løsningen blir 3x=6  x=lg6lg31,6

Også her kunne vi oppgitt svaret på eksakt form som x=lg6lg3

Merk at oppgaver av denne typen gjerne kan inngå i Del 1 av en prøve eller en eksamen.