Forenkling av rasjonale uttrykk

Brøker med bokstavuttrykk i teller og nevner kalles rasjonale uttrykk. Du kan bruke de regnereglene du nå har lært, til å forenkle og trekke sammen rasjonale uttrykk. Regnereglene for brøkregning gjelder selvfølgelig også om du erstatter tall med bokstaver. 

Eksempel 

Trekke sammen uttrykk

$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{2}{b}$

Løsning

$\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}+\frac{2}{b}=\frac{4b·b}{a·b}+\frac{a·a}{b·a}+\frac{2·a}{b·a}=\frac{4b^2}{\mathrm{ab}}+\frac{a^2}{\mathrm{ab}}+\frac{2a}{\mathrm{ab}}=\frac{4b^2+a^2+2a}{\mathrm{ab}}$

Eksempel 

Trekk sammen uttrykkene

$\frac{4x}{x^2-9}-\frac{2}{x+3}$

Løsning
Vi faktoriserer nevnerne, finner fellesnevneren og utvider brøkene slik at alle får samme nevner. Her må du kunne konjugatsetningen! 

$\frac{4x}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{2·\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)·\left(x-3\right)}$

Vi trekker sammen brøkene ved å trekke sammen tellerne og beholde felles nevner. 

$\frac{4x-2\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{4x-2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}$

Til slutt faktoriserer vi telleren og forkorter, faktor mot faktor, der dette er mulig. 

$\frac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{2·x+2·3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\frac{2\left(\cancel{x+3}\right)}{\left(\cancel{x+3}\right)\left(x-3\right)}=\frac{2}{x-3}$

Legg merke til at faktoriseringskommandoen i CAS også trekker sammen og forkorter brøker!