Fagstoff

Multiplikasjon av sannsynligheter

Publisert: 17.06.2010, Oppdatert: 03.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Produktsetningen for uavhengige hendelser

Terningkast resultat-sum

Vi har tidligere sett på forsøket «kast med to terninger».

Ved å bruke regelen om «gunstige over mulige» kan vi finne sannsynligheten for å få summen 12, det vil si sekser på begge terningene.

PSekser  begge terningene=gm=136

Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster den røde terningen er 16. Sannsynligheten for å få en sekser når vi kaster den blå terningen er også 16 . Dette gjelder uavhengig av om det ble en sekser på rød terning eller ikke. Om vi kaster rød terning først og får en sekser, endrer ikke dette sjansene for å få en sekser på den blå terningen.

Vi sier at hendelsene «å få sekser på rød terning» og «å få sekser på blå terning» er uavhengige hendelser.

Vi så ovenfor at sannsynligheten for å få sekser i begge kastene er lik 136. Denne sannsynligheten får vi også ved å multiplisere sannsynlighetene for å få sekser på hver av terningene.

PSekser  rød terning og sekser  blå terning=PSekser  rød terning·Sekser  blå terning=16·16=136

Dette gjelder generelt og kalles produktsetningen for uavhengige hendelser.

 

To hendelser er uavhengige hvis en opplysning om at den ene har inntruffet ikke endrer sannsynligheten for at den andre skal inntreffe.

 

For to uavhengige hendelser,  A og B er

 

PA og B=PA·PB

 

A og B betyr at både A og B inntreffer.

Vi erstatter ordet «og» med symbolet «» og AB leses også som «A snitt B». Vi får

 

PAB=PA·PB

 

Setningen gjelder også for en serie av hendelser.

 

TippekupongTippekupong

Hvor stor er sannsynligheten for å få 12 rette i fotballtipping når vi fyller ut én rekke på en tippekupong helt tilfeldig?

 

Løsning

Vi kan oppfatte dette som 12 hendelser. Hver kamp kan ende med hjemmeseier (H), uavgjort (U) eller borteseier (B). I hvert kamp er sannsynligheten for å tippe rett lik 13.

Sannsynligheten for å tippe rett i hver kamp er den samme uavhengig av om vi har tippet rett eller feil i tidligere kamper.

Kjell Rune Sellin i Rosenborg jubler. Foto.

 

Vi har altså 12 uavhengige hendelser.  

Sannsynligheten for å tippe 12 rette er da lik 13 multiplisert med seg selv 12 ganger.

P12 rette=13·13·13·13·13·13·13·13·13·13·13·13              =1312=15314410,0000019=0,00019%

Valg av leder og nestleder

Tankefull jente i skoleklasse. Foto.  Vi skal velge ut leder og nestleder til en festkomité i klassen 1A. Selvfølgelig vil alle være leder eller nestleder. For at valget skal være tilfeldig, skrives de 30 navnene på elevene i klassen på like lapper, som legges i en eske. Den første vi trekker ut, skal være leder og den andre nestleder.

Sannsynligheten for at Karoline blir leder er 130. Når nestleder skal trekkes, er det 29 å velge mellom.

Sannsynligheten for at Maria blir nestleder, forutsatt at hun ikke ble leder, er da 129 . Dette gjelder uavhengig av hvem av de andre som ble leder.

Vi definerer hendelsen A

A: Karoline blir leder og Maria blir nestleder

Ifølge produktsetningen for uavhengige hendelser kan vi regne ut sannsynligheten for hendelsen A

PA=130·129=18700,0011

Det er altså 0,1 % sjanse for akkurat denne kombinasjonen.

Oppgaver