Fagstoff

Sinussetningen

Publisert: 16.06.2010, Oppdatert: 25.09.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Vi skal nå bli kjent med en setning som gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklete.

Gitt en trekant ABC. Følgende sammenheng gjelder

Hjeplefigur

 

Sinussetningen

 

sin Aa=sin Bb=sin Cc

 

Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er lik for alle vinklene i trekanten.

 

Bevis for sinussetningen

Vi skal nå bevise sinussetningen ved å skrive opp formelen for arealet av ΔABC ut fra hver av de tre vinklene.Sinussetningen

Sett fra hjørnet A blir arealet av ΔABC lik 12·b·c·sin A.
Sett fra hjørnet B blir arealet av ΔABC lik 12·a·c·sin B.
Sett fra hjørnet C blir arealet av ΔABC lik 12·a·b·sin C.

Disse arealene MÅ jo være like store og vi setter

12·b·c·sin A=12·a·c·sin B=12·a·b·sin C2·12·b·c·sin A=2·12·a·c·sin B=2·12·a·b·sin Cb·c·sin A=a·c·sin B=a·b·sin Cb·c·sin Aa·b·c=a·c·sin Ba·b·c=a·b·sin Ca·b·cb·c·sin Aa·b·c=a·c·sin Ba·b·c=a·b·sin Ca·b·csin AA=sin BB=sin CC

Eksempel
Figuren viser en trekant ABC   .

a) Regn ut A når a = 3,0 cm, b = 5,5 cm og B = 60°.
Hjelpefigur

 

Løsning
1.  sinA°/3.0=sin60°/5.5    sinA°3=sin60o5,52.  sinA°/3.0=sin60°/5.5     NLøs: A=28.2, A=151.8

Med A=151,8° blir vinkelsummen i trekanten større enn 180° fordi 151,8°+60°=211,8°. Vi får da ikke noen trekant. Løsningen A=151,8° kan derfor ikke brukes.

 

b) Finn siden c.
 

Løsning

1.  sin180°-60°-28.2°/c =sin60°/5.5     sin180°-60°-28.2°=sin60°5.52.  sin180°-60°-28.2°/c =sin60°/5.5     NLøs: c=6.3    

c=6,3 cm

 

Legg merke til!

Når vi finner vinkler med sinussetningen, fører regningen til to muligheter for vinkelen.

I hver enkelt oppgave må vi vurdere om begge svarene kan brukes.

Vi utelukker eventuelt vinkler ved å bruke at

  • Vinkelsummen i en trekant skal være 180°
  • Den største vinkelen skal ha lengst motstående side
  • Den minste vinkelen skal ha kortest motstående side
Oppgaver

Aktuelt stoff

Generelt

Relatert innhold

Generelt