Fagstoff

Sinussetningen

Publisert: 16.06.2010, Oppdatert: 24.10.2017

Vi skal nå bli kjent med en setning som gjør oss i stand til å finne sidelengder og vinkler i trekanter som ikke er rettvinklete.

Gitt en trekant ABC. Følgende sammenheng gjelder

Hjeplefigur

 

Sinussetningen

 

sin Aa=sin Bb=sin Cc

 

Forholdet mellom sinus til en vinkel og lengden av motstående side er lik for alle vinklene i trekanten.

 

Bevis for sinussetningen

Vi skal nå bevise sinussetningen ved å skrive opp formelen for arealet av ΔABC ut fra hver av de tre vinklene.Sinussetningen

Sett fra hjørnet A blir arealet av ΔABC lik 12·b·c·sin A.
Sett fra hjørnet B blir arealet av ΔABC lik 12·a·c·sin B.
Sett fra hjørnet C blir arealet av ΔABC lik 12·a·b·sin C.

Disse arealene MÅ jo være like store og vi setter

12·b·c·sin A=12·a·c·sin B=12·a·b·sin C2·12·b·c·sin A=2·12·a·c·sin B=2·12·a·b·sin Cb·c·sin A=a·c·sin B=a·b·sin Cb·c·sin Aa·b·c=a·c·sin Ba·b·c=a·b·sin Ca·b·cb·c·sin Aa·b·c=a·c·sin Ba·b·c=a·b·sin Ca·b·csin AA=sin BB=sin CC

Eksempel
Figuren viser en trekant ABC   .

a) Regn ut A når a = 3,0 cm, b = 5,5 cm og B = 60°.
Hjelpefigur  

 

Løsning
sinus til A grader delt på 3 komma 0 = sinus til 60 grader delt på 5 komma 5.Foto.  

Med A=151,8° blir vinkelsummen i trekanten større enn 180° fordi 151,8°+60°=211,8°. Vi får da ikke noen trekant. Løsningen A=151,8° kan derfor ikke brukes.

A=28,2°

 

b) Finn siden c.
 

Løsning

sinus til 180 grader minus 60 grader minus 28 komma 2 grader delt på c = sinus til 60 grader delt på 5 komma 5.Foto.   

c=6,3 cm

 

Legg merke til!

Når vi finner vinkler med sinussetningen, fører regningen til to muligheter for vinkelen.

I hver enkelt oppgave må vi vurdere om begge svarene kan brukes.

Vi utelukker eventuelt vinkler ved å bruke at

  • Vinkelsummen i en trekant skal være 180°
  • Den største vinkelen skal ha lengst motstående side
  • Den minste vinkelen skal ha kortest motstående side
Oppgaver

Aktuelt stoff

Generelt