Fagstoff

Sinus og cosinus til vinkler større enn 90°

Publisert: 16.06.2010, Oppdatert: 05.12.2017

 

Generell definisjon av sinus, cosinus og tangens til en vinkel

Vinkel  Vi starter med en vinkel v som er mindre enn 90°. Vi oppretter så motstående katet slik at vi får en rettvinklet trekant med hypotenus lik 1. Vi kaller katetene for a og b.

Vi får

sin v=b1=b og cos v=a1=a
enhetssirkelen  

Vi legger et koordinatsystem med origo i toppunktet til vinkelen slik at vinkelens høyre bein blir liggende langs x-aksen. Vi legger videre en sirkel med radius 1 og sentrum i origo. Vi kaller sirkelen for enhetssirkelen. 

 Vi kaller skjæringspunktet mellom enhetssirkelen og venstre vinkelbein til v for P.  

Punktet P har koordinatene (a, b).

Vi ser da at cosinus til vinkelen blir lik førstekoordinaten til P, cos v=a og at sinus til v blir lik andrekoordinaten til P, sin v=b.
Det betyr at P=(cos v, sin v).

Vi ser også at   tan v=ba=sin vcos v når cos v0.

Ettersom avstanden fra origo til P er lik 1, har vi også at kvadratet av sin v pluss kvadratet av cos v er lik 1.
sin v2+cos v2=1

Vi kan nå definere sinus, cosinus og tangens til en generell vinkel v.
enhetssirkelen  
Plasser vinkel v i et koordinatsystem sammen med enhetssirkelen. Se figuren til høyre.

La P være skjæringspunktet mellom vinkelens venstre vinkelbein og enhetssirkelen.

Vi får
cos v=førstekoordinaten til P
sin v=andrekoordinaten til P

Vi får også at
tan v=sin vcos v når cos v0
Vi har nå en definisjon som også gjelder for vinkler som er større enn 90°.
Enhetssirkelen
Trykk her for å se en simulering av enhetssirkelen i GeoGebra.
Oppgaver

Generelt