Fagstoff

Tangens til en vinkel

Publisert: 15.06.2010, Oppdatert: 18.10.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut
formlike trekanter  

Gitt ΔABC og ΔDBE som vist på figuren ovenfor. Trekantene er formlike fordi B er felles i begge trekantene og A=D=90o. Vi har derfor at ACDE=ABDB.

Vi multipliserer med DE og dividerer med AB på begge sider av likhetstegnet.

  ACDE = ABDBAC· DEDE·AB=AB·DEDB·ABAC· DEDE·AB=AB·DEDB·ABStor trekant ACAB=DEDBLiten trekant

Forholdet mellom motstående katet til B og hosliggende katet til B er det samme uansett hvilken trekant vi bruker.

Vi kan lage flere trekanter ved å tegne inn parallelle linjer til AC og DE. På grunn av formlikhet vil da alltid forholdet mellom motstående katet og hosliggende katet være det samme. Dette forholdet er altså konstant.


Dette konstante forholdet identifiserer vinkel B entydig, og derfor gir vi dette forholdstallet et navn. Vi kaller det tangensverdien til B.

Tangens til en vinkelrettvinklet trekant

 

I en rettvinklet trekant med en spiss

 

vinkel v er

 

tan v=motstående katethosliggende katet=bc

 

 

Hvordan finne sammenhengen mellom tangensverdien og gradetallet til en vinkel?

  • Bruk papir, blyant og gradskive, eller bruk GeoGebra, og tegn en vinkel v = 15°
  • Opprett en normal på det høyre vinkelbeinet til v slik at v svarer til A i den rettvinklede trekanten ABC
  • Mål og regn ut forholdet BCAB
  • Lag gjerne flere trekanter hvor du varierer plasseringen av punktet B

Får du at dette forholdet er 0,27? Du har i så fall funnet at tan 15° ≈ 0,27.

Du kan finne tangensverdiene til alle vinkler på denne måten. Men du trenger ikke gjøre det, for andre har gjort det før deg.

Med CAS i GeoGebra finner du tangens til 15 grader ved å skrive tan(15°). Du må bruke parenteser og gradetegn. (Hurtigtast "Alt + O")

For å gå motsatt vei må du skrive atand(0.268).

Tangens i GeoGebra   

Det er vanlig at vi tar med 1 desimal i gradverdien for en vinkel og 3 desimaler i tangensverdien.

Hva kan vi så bruke tangens til? Vi skal gi noen eksempler.

Prøv denne simuleringen Trigonometri i trappen 

Eksempel 1

Thales fra Milet (600 f. Kr) fant høyden til Keopspyramiden ved å bruke «skyggematematikk» (formlike trekanter).

pyramide og trekanter 

På figuren ovenfor er pyramiden tegnet som en trekant. AB er skyggen av pyramiden. DE er skyggen av den 2 meter høye stokken DF. BC og EF er parallelle siden solstrålene er parallelle.

Thales fant høyden slik


AC2,0=1902,6AC=73,08·2,0AC146

Pyramiden er ca. 146 meter høy.

Gizapyramidene i EgyptGizapyramidene i Egypt     

Ved å bruke det vi nå har lært om tangens, kan vi finne høyden til pyramiden uten å bruke trekanten DEF. Vi kan med en vinkelmåler, gradskive eller litt mer avansert utstyr måleB = 37,6°.

Vi kan da sette opp og løse likningen
tangens til 37 komma 6 grader = A C delt på 190. Kollage.    

Vi har nå en generell metode for å finne høyden på trær, bygninger osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken.

Eksempel 2

Vi ønsker å beregne avstanden fra badestranden Sjøsanden i Mandal og ut til Hatholmen.

tegning av sjøsanden 

Løsning

Vi lager en linje AB = 100 m i sanden. Linjen står vinkelrett på siktelinjen til Hatholmen fra punktet A. (Hvordan gjør vi det?) Ved hjelp av en vinkelmåler måler vi B = 87°.

Vi kan da sette opp og løse likningen

tangens til 87 grader = x delt på 100.Foto.  

Der er 1900 m ut til Hatholmen.

Ved hjelp av bedre instrumenter til å måle vinkler kan vi få større nøyaktighet. Sjekk hvilket utslag det gir om vinkelen hadde vært en halv grad større.

Vi har nå en generell metode for å finne avstander ut til ut til øyer, over elver osv. ved å måle vinkler og avstander langs bakken der vi er.

Eksempel 3

bilde av fyrtårn og robåt  

Du sitter i en båt utenfor Lindesnes fyr og lurer på hvor langt det er inn til land. Du vet at toppen av fyrlykten er 40 meter over havflaten. Du tar fram gradskiven og måler vinkelen som vist på tegningen, til 5 grader. Finn ut hvor langt det er inn til land.

Løsning

Vi kan sette opp og løse likningen

tangens til 5 grader = 40 delt på x.Foto.  

Det er 460 m inn til land.

Vi har da en generell metode for å finne avstander til steder hvor vi har objekter vi kjenner høyden eller bredden til. Dette kan for eksempel være nyttig i orientering i skog og mark.

Eksempel 4

Metode for å finne ukjente vinkler.

En snekker trenger å vite takvinkelen v. Se figur.

vinkler på hustak.Illustrasjon.  

Vi kan sette opp og løse likningen

(Husk gradetegnet)

tangens til v grader = 3 komma 3 delt på 5.Illustrasjon.  

Takvinkelen er 33,4°.

 

Oppgaver

Aktuelt stoff

Generelt

Relatert innhold