Fagstoff

Drøfting av polynomfunksjoner på grunnlag av egenskaper til den deriverte funksjonen

Publisert: 25.06.2010, Oppdatert: 24.08.2017

Vi kan bruke den deriverte til å finne topp- og bunnpunkter på grafen til en funksjon og til å bestemme hvor grafen stiger og synker. Dette kan vi gjøre ved regning, uten å tegne grafen.

Monotoniegenskaper

Å finne ut hvor grafen til en funksjon stiger og hvor grafen synker, kalles for å drøfte funksjonens monotoniegenskaper.

Å drøfte en funksjon betyr gjerne at vi skal undersøke monotoniegenskapene og bestemme topp- og bunnpunkter på grafen.

Drøfting av polynomfunksjoner

Utfordring!

Tegn grafen til tredjegradsfunksjonen f gitt ved $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1$ .

Tegn deretter tangenter til grafen for noen x-verdier mellom -2 og 3.

Undersøk om det er en sammenheng mellom tangentenes stigningstall og hvorvidt grafen stiger, synker eller har topp- eller bunnpunkter.

Ser du at

- Stigningstallet til tangenten er positivt når grafen stiger.
- Stigningstallet til tangenten er negativt når grafen synker.
- Stigningstallet til tangenten er null i topp- og bunnpunkter.

Siden tangentens stigningstall er lik den deriverte til funksjonen, betyr dette at

Når grafen stiger, er den deriverte positiv. Det motsatte gjelder også. Hvis den deriverte er positiv, så stiger grafen.

Når grafen synker, er den deriverte negativ. Det motsatte gjelder også. Hvis den deriverte er negativ, så synker grafen.

Når grafen har topp- eller bunnpunkt, er den deriverte lik null.

Dette betyr at vi kan finne ut for hvilke verdier av x grafen til en funksjon stiger, for hvilke verdier av x den synker, og når den har topp- eller bunnpunkt ved å se på fortegnet til den deriverte. Vi viser dette gjennom noen eksempler.

Eksempel 1

Finn ved regning når grafen til funksjonen $f (x) = - x^{2} + 4 x - 3$ stiger, og når den synker. Finn også eventuelle topp- og bunnpunkter.

Løsning
Vi deriverer f(x)

$\begin{array}{l} f (x) = - x^{2} + 4 x - 3 \\ f' (x) = - 2 x + 4 \end{array}$

Vi setter så

f' (x) = 0

\begin{array}{l} - 2 x + 4 = 0 \\ - 2 x = - 4 \\ x = 2 \end{array}

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldige x - verdier i hvert av de aktuelle intervallene $<\leftarrow, 2> og <2, \to>$ og for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

\begin{array}{l} f' (0) = - 2 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 \\ f' (3) = - 2 \cdot 3 + 4 = - 2 < 0 \end{array}

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til

f' (x)

Vi ser av fortegnslinjen at grafen vokser for

x \in <\leftarrow, 2>

og at grafen minker når

x \in <2, \to>

Grafen til f(x) har derfor et toppunkt når x = 2.
$f (2) = - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 3 = - 4 + 8 - 3 = 1$

Toppunktet er (2,f(2)) = (2,1)

Funksjonen har maksimalpunkt x = 2 og maksimalverdi f(2) = 1.

VI tegner grafen i GeoGebra, og ser at det vi har funnet ut ved regning er riktig.

Sammenligning av graf og fortegnslinje. graf.

Eksempel 2

Funksjonen f er gitt ved

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1

.
Drøft monotoniegenskapene til f og finn eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til f.

Løsning
Vi deriverer f(x)

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1 \\ f' (x) = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot x^{2} - \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x^{1} - 2 \\ f' (x) = x^{2} - x - 2 \end{array}$

Setter så

f' (x) = 0

\begin{array}{l} x^{2} - x - 2 = 0 \\ x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{(- 1^{2}) - 4 \cdot 1 \cdot (- 2)}}{2 \cdot 1} \\ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \\ x = - 1 eller x = 2 \end{array}

Det er bare i nullpunktene at uttrykket for den deriverte kan skifte fortegn. Vi velger derfor tilfeldigeverdier i hvert av de aktuelle intervallene $<\leftarrow, - 1>, <- 1, 2> og <2, \to>$ , og for å se om uttrykket er positivt eller negativt.

\begin{array}{l} f' (- 2) = {(- 2)}^{2} - (- 2) - 2 = 4 > 0 \\ f' (0) = {(0)}^{2} - (0) - 2 = - 2 < 0 \\ f' (3) = {(3)}^{2} - (3) - 2 = 4 > 0 \end{array}

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til

f' (x)

Vi ser av fortegnslinjen at:

Grafen stiger for $x \in <\leftarrow, - 1> \cup <2, \to>$
Grafen synker for $x \in <- 1, 2>$

Grafen til f(x) har altså et toppunkt når x = − 1 og et bunnpunkt når x = 2.

\begin{array}{l} f (- 1) = \frac{1}{3} {(- 1)}^{3} - \frac{1}{2} {(- 1)}^{2} - 2 (- 1) + 1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + 1 \\ = \frac{2}{6} - \frac{3}{6} + \frac{12}{6} + \frac{6}{6} = \frac{13}{6} \end{array}

$f (2) = \frac{1}{3} {(2)}^{3} - \frac{1}{2} {(2)}^{2} - 2 (2) + 1 = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 4 + 1 = \frac{16}{6} - \frac{12}{6} - \frac{24}{6} + \frac{6}{6} = - \frac{14}{6} = - \frac{7}{3}$

Toppunktet er $(- 1, f (- 1)) = (- 1, \frac{13}{6})$ .

Bunnpunktet er $(2, f (2)) = (2, - \frac{7}{3})$ .

Funksjonen har maksimalpunkt x = -1 og maksimalverdi $f (- 1) = \frac{13}{6}$

Funksjonen har minimalpunkt x = 2 og minimalverdi $f (2) = - \frac{7}{3}$

Maksimalpunkter og minimalpunkter kaller vi ekstremalpunkter. Andrekoordinaten til et toppunkt er en maksimalverdi til funksjonen, og andrekoordinaten til et bunnpunkt er en minimalverdi. Maksimal- og minimalverdiene ofte lokale maksimal- og minimalverdier. Det vil si at de er maksimal- og minimalverdier i et intervall omkring ekstremalpunktet.

Eksempel 3

Drlft monotiegenskapene til funksjonen f gitt ved $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - \frac{5}{3}$

Løsning
Vi deriverer f(x)

$\begin{array}{l} f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - \frac{5}{3} \\ f' (x) = x^{2} - 4 x + 4 \end{array}$

Setter så

f' (x) = 0

\begin{array}{l} x^{2} - 4 x + 4 = 0 \\ x = \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\ x = \frac{4 \pm \sqrt{0}}{2} \\ x = 2 eller x = 2 \end{array}

Vi får bare en løsning.

Vi tar stikkprøver i hvert av de to intervallene $<\leftarrow, 2> og <2, \to>$

\begin{array}{l} f' (0) = {(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 \\ f' (3) = {(3)}^{2} - 4 \cdot 3 + 4 = 9 - 12 + 4 = 1 > 0 \end{array}

Vi kan da sette opp fortegnslinjen til

f' (x)

Denne fortegnslinjen er spesiell siden den deriverte ikke skifter fortegn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for $x \neq 2$ . Det betyr at funksjonen vokser både før og etter at $x = 2$ . Grafen har verken topp- eller bunnpunkt for $x = 2$ . Men siden den deriverte er lik null, er tangenten til grafen horisontal for $x = 2$ . Et slikt punkt på grafen kalles for et terrassepunkt.

Nedenfor har vi tegnet grafen til f med terassepunkt.

Stasjonære punkter kan være topp- eller bunnpunkter eller terrassepunkter.

Stasjonære punkter

I et stasjonært punkt er f'(x) = 0. Et stasjonært punkt er et toppunkt eller et bunnpunkt hvis f'(x) skifter fortegn i punktet.
Et terrassepunkt er et stasjonært punkt hvor funksjonen ikke endrer seg fra voksende til avtagende eller fra avtagende til voksende. Det vil si at den deriverte ikke skifter fortegn.