Fagstoff

Gjennomsnittlig vekstfart

Publisert: 24.06.2010, Oppdatert: 09.10.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Når en funksjon ikke er lineær, vil vekstfarten variere fra sted til sted på kurven. Jo brattere kurven er, jo større er vekstfarten.

Vi kan finne den gjennomsnittlige vekstfarten over et intervall x1, x2 på følgende måte:

Illustrasjon av grafer og punkter  
En sekant er en rett linje som skjærer en krum kurve i minimum to punkter.

Vi trekker en rett linje, sekant, gjennom punktene x1, fx1 og x2, fx2.
Vi regner så ut stigningstallet til denne sekanten:

a=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1

Vi har da funnet et mål for gjennomsnittlig vekstfart for funksjonen når x øker fra x1 til x2.

Gjennomsnittlig vekstfart. Stigningstallet til sekanten

Den gjennomsnittlige vekstfarten for en funksjon f(x) når x vokser fra x1 til x2, er lik stigningstallet til sekanten gjennom punktene x1, fx1 og x2, fx2.

 

a=ΔyΔx=fx2-fx1x2-x1

Eksempel

To gutter sammenligner høyden. Foto. Som 13-åring var Niels Henrik 149 cm høy. Fire år senere var han 181 cm. Vi lar x være alderen til Niels Henrik og y være høyden. Vi får at den gjennomsnittlige vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir

ΔyΔx=181 cm-149 cm4 år=32 cm4 år=8cmår.

Eksempel

Vekstfart. Graf.  En funksjon f er gitt ved fx=x2+2.

Vi ønsker å finne den gjennomsnittlige vekstfarten til f når x vokser fra x=0,5 til x=2.

Gjennomsnittlig vekstfart:

ΔyΔx = f2-f0,52-0,5    =22+2-0,52+22-0,5    =6-2,251,5    =2,5

Dette kan også regnes ut med CAS i GeoGebra; se neste eksempel. 

 

Eksempel

Morelltre i motlys. Foto.Morelltre i blomstring I 2006 plantet Elin et morelltre.

Funksjonen h gitt ved

hx=-0,003x3+0,09x2+1     x0, 20

viser høyden til morelltreet i meter x år etter at det ble plantet.

Vi ønsker å finne hvor mye treet vokste i gjennomsnitt per år i perioden 2007 til 2013.

I GeoGebra tegner vi først grafen til h. Deretter avsetter vi punktene A=1, h1 og B=7, h7.

Så bruker vi verktøyknappen «Linje» for å tegne linjen gjennom de to punktene. Deretter bruker vi knappen «Stigning» for å finne stigningstallet til linjen.

Vi finner at stigningstallet til sekanten gjennom A og B er 0,5. Det vil si at treet i gjennomsnitt har vokst med 0,5 meter per år i årene 2007 til 2013.

Vekstfart. Graf.  

 

Gjennomsnittlig vekstfart i CAS. Bilde. Vi kan også finne gjennomsnittlig vekstfart per år i perioden 2007 til 2013 ved CAS i GeoGebra.

Vi får samme resultat som ovenfor.

 

Oppgaver

Aktuelt stoff

Aktuelt stoff for