Potensfunksjoner

Live arver 300 000 kroner. Hun vil spare pengene.

Den lokale banken tilbyr en årlig rente på 3 % per år. Dette svarer til en vekstfaktor på 1,03. Live regner det som sannsynlig at hun vil få bruk for pengene om 10 år. Hvor mye vil beløpet ha vokst til etter 10 år?

$300 000·1,{03}^{10}=403 175$

Beløpet vil ha vokst til ca. 403 175 kroner.

Live vet at det finnes alternativer til banksparing, og hun vil undersøke hva beløpet kan vokse til etter 10 år, hvis renten er høyre enn 3 %.

Hun ser da at hun kan bruke funksjonen $B$ gitt ved

$B\left(x\right)=300 000·x^{10}$

Her er det vekstfaktoren som er den variable, $x$.

Live tegner grafen til $B$ for $x\in \left[1.03, 1.12\right]$

Av grafen kan hun se at ved en årlig rente på 3 %, vil beløpet vokse til ca. 403 000 kroner etter 10 år. Hvis renten er på 8 % per år, vil beløpet vokse til ca. 648 000 kroner og hvis hun kan få en rente på 11 % per år, altså at vekstfaktoren er 1,11, vil hun sitte med ca. 852 000 etter 10 år.

I funksjonsuttrykket $B\left(x\right)=300 000·x^{10}$ er $x$ grunntallet i en potens hvor eksponenten er et konstant tall. En slik funksjon kalles for en potensfunksjon.

Legg merke til at når $b$ er et ikkenegativt helt tall, er potensfunksjonen også en polynomfunksjon, som for eksempel $2x, 3x^2$  , osv.

Når b er et negativt helt tall, er potensfunksjonen en rasjonal funksjon, som for eksempel $x^{-4}=\frac{1}{x^4}, 2x^{-1}=\frac{2}{x}$ osv.

Når $b$ ikke er et helt tall, må vi forutsette at $x$ er positiv. Grunnen er at for eksempel $x^{0,5}$ betyr det samme som $\sqrt{x}$ , og kvadratroten av et negativt tall er ikke et reelt tall.

Til høyre har vi tegnet grafene til funksjoner gitt på formen $2x^b$ for ulike verdier av $b$.

Hvorfor går alle grafene gjennom punktet $\left(1, 2\right)$?

Hvordan ser grafen ut når $b=1$?

Grafene endrer hovedform etter om $b\in ⟨\leftarrow , 0⟩$, $b\in ⟨0, 1⟩$eller $b\in ⟨1, \to ⟩$.

Legg merke til at grafen til en potensfunksjon $f$ gitt ved $f\left(x\right)=a·x^b$ alltid går gjennom punktet $\left(1, a\right)$ fordi $f\left(1\right)=a·1^b=a$ .

Eksempel

Når en pendel svinger, er svingetiden, det vil si den tiden det tar fra pendelen slippes til den kommer tilbake til utgangspunktet, avhengig av lengden på snoren som pendelkulen henger i.

Fra naturfag kjenner du kanskje formelen for svingetiden T sekunder, som funksjon av snorlengden $x$ meter?

Formelen gir at

$T=\frac{2\pi }{\sqrt{g}}·\sqrt{x}=\frac{2\pi }{\sqrt{g}}·x^{0,5}$    

Her er $\pi \approx 3,14$ og $g\approx 9,81$ ($g$ er tyngdens akselerasjon).

Når vi setter inn disse verdiene i formelen, får vi

$T\approx \frac{2·3,14}{\sqrt{9,81}}·x^{0,5}=2,0·x^{0,5}$

Svingetiden til en pendel er altså en potensfunksjon av snorlengden.

Vi vet også at $x^{0,5}=\sqrt{x}$, slik at svingetiden kan uttrykkes som

$T=2\sqrt{x}$

Nå er svingetiden uttrykt som en funksjon.