Fagstoff

Utledning av rakettligningen

Publisert: 06.01.2014, Oppdatert: 05.03.2017
Tsiolkovsky

Vi kan utlede rakettligningen ved å ta utgangspunkt i et legeme med masse m som beveger seg med en hastighet v. Bevegelsesmengde er definert som produktet av masse og hastighet. Dette legemet har da en bevegelsesmengde på p=m·v

Hvis denne massen ikke er påvirket av ytre krefter så vil bevegelsesmengden, og dermed hastigheten, være konstant. Denne ligningen er oppkalt etter Konstantin Tsiolkovsky, russisk rakettforsker, som publiserte den i 1903, men det har vist seg at den ble utledet så tidlig som 1813 av engelskmannen Roger Moore..

Hensikten med rakettmotorer er å kunne forandre hastigheten for et legeme når det ikke er mulig å bruke ytre krefter og når derfor den totale bevegelsesmengden er konstant. En rakettmotor vil sende en strøm av partikler, drivgass eller ioner. Den samlede bevegelsesmengden forblir konstant, og det fører til at selve raketten med nyttelasten forandrer hastigheten.

Vi skal forenkle rakettmotoren og anta den skyter ut ett prosjektil med masse Δm med en relativ hastighet i forhold til satellitten på vd. Dette gir satellitten en hastighetsøkning Δv.

RakettmotorHastighetsøkning ved utskyting av partikkel

Utskyting påvirker den totale bevegelsesmengden, men den må summeres for de to delene satellitt og prosjektil

m·v=dm·(v-vd)+(m-dm)·(v+v)

Vi kan da regne ut hastighetsforandringen

m·v=dm·v-dm·vd+m·v+m·v-dm·v-dm·v

0=-dm·vd+m·v-dm·v

v=-dm·vdm-dm

En rakett som brukes til å forandre hastigheten på en satellitt sender ut en strøm med små partikler, molekyler i en drivgass eller ioner fra en ionemotor, og det fører til at den massen som skal akselereres avtar. Selv ved konstant utstrømningshastighet for drivgassen så øker hastigheten når vi slipper en oppblåst luftballong.

Når massen for hver partikkel, Δm, er liten i forhold til den masse som skal akselereres, m, så kan vi erstatte (m-dm) med m.

v=dm·vdm=-vd·dmm

Dette kan skrives som en differensialligning

dv=-vd·dmm

Løsningen kan skrives på to former

Hastighetsøkning v=vd·logmd+m0m0

md=m0·evvd=m0·(evvd-1)

Her er

Vd = utstrømningshastigheten for drivgassen
md = massen for drivgassen
m0 = restmassen for raketten
log = den naturlige logaritmen, ofte skrevet som ln(x)

Hastighhetsøkning som funksjon av drivstoffmengde Hastighetsøkning.Den første versjonen er best egnet for å beregne hastighetsøkningen ved en viss mengde drivstoff md med gitt utstrømningshastighet vd.

Uttrykket viser at hastighetsøkningen er proporsjonal drivgasshastigheten, mens økningen som funksjon av drivstoffmengden md er lavere fordi uttrykket for md inngår i en logaritmefunksjon.

Den andre viser hvor stor drivstoffmengde som kreves for å gi massen m0 en ønsket hastighetsøkning Δv.

Så må vi understreke at disse beregningene strengt tatt bare gjelder for bevegelser i rommet, uten tyngdekraft og uten friksjon i atmosfæren.

 

Relatert innhold

Til fordypning