Fagstoff

Modul 1: Hva er sannsynlighet?

Publisert: 12.06.2013, Oppdatert: 04.08.2016

Rosa ballong svever over kaktus. Foto Sannsynlighetsregning handler om hvordan vi ved hjelp av matematikk kan si noe om hva som vil skje i framtiden.

 

 

Utfall og utfallsrom

Nyfødt babygutt. Foto.Ved en barnefødsel er utfallsrommet U = {gutt, jente}.  

Når vi kaster en terning, kan vi få en ener, en toer, en treer, en firer, en femmer eller en sekser.

Dette kaller vi utfall. Alle utfallene til sammen kalles utfallsrommet. Når vi kaster en terning, er utfallsrommet
U
= {1,2,3,4,5,6}. Når vi kaster en tikrone, er utfallsrommet
U
= {kron, mynt}, og ved en barnefødsel er utfallsrommet
U
= {gutt, jente}.

Tilfeldig forsøk

Å kaste en terning er et eksempel på et tilfeldig forsøk.

I et tilfeldig forsøk er resultatet ukjent, men de mulige utfallene, utfallsrommet, er kjent.

Vi vet ikke hva teningen vil vise, men vi vet at den vil vise en ener, en toer, en treer, en firer, en femmer eller en sekser.

Terningkast

Blå terninger som er kastet. Foto. Har du noen gang lurt på om det er større sjanser for å få en sekser enn for eksempel en toer når du kaster en terning?

Eller er det slik at når du har kastet terningen veldig mange ganger uten å få en sekser, så øker sjansene for at du får en sekser i neste kast?

For å finne ut av slike spørsmål kan du kaste en terning mange, mange ganger og se hva som skjer eller du kan få en datamaskin til å simulere terningkast, late som den kaster terning.

Simulering av terningkast

Gå inn på Simuleringer i sannsynlighet.Her finner du simulering av terningkast, simulering nummer 1 (Pga en teknisk feil må du gå til simulering nummer 2, og så tilbake til nummer 1 for å få frem denne simuleringen).

I et forsøk med 50 terningkast fikk vi følgende resultat

Resultat av simulering terningkast  

Tabellen og stolpediagrammet viser at over halvparten av kastene ble en toer eller femmer, tretten ganger på hver. Terningen viste en sekser bare fem ganger og en firer bare fire ganger. Betyr det at det er lettere å få en femmer enn en firer med denne terningen?

I tabellen er det også en kolonne med relativ frekvens. Relativ frekvens for å få en sekser er 0,1. Det vil si 10 %. 5 av 50 kast gav en sekser. 5 av 50 er 550=0,1. Den relative frekvensen å få en sekser viser altså hvor stor andel av kastene som ble sekser.

Etter 50 kast er den relative frekvensen for de enkelte utfall svært ulike. Dersom vi kaster terningen litt flere ganger, vil de relative frekvensene endre seg.

Men, hva skjer dersom vi kaster veldig mange ganger? Vi prøver med 150 000 terningkast!

Resultat av simulering av terningkast  

Ser du at de relative frekvensene nå er tilnærmet like store?
Hva tror du vil skje dersom vi kaster enda flere ganger?

Lottokuler. Foto.Etter svært mange lottotrekninger, vil relativ frekvens for hver kule, nærme seg et bestemt tall.Mange har gjort dette før deg og oppdaget «de store talls lov». Den sier at hvis vi gjentar et forsøk mange nok ganger, vil den relative frekvensen for et utfall nærme seg ett bestemt tall. Denne oppdagelsen er blitt brukt som utgangspunkt for å definere hva vi mener med sannsynligheten for et utfall i et forsøk.

Når vi kaster en terning mange nok ganger viser det seg at de relative frekvensene for hvert enkelt utfall blir lik 160,167.

Vi sier at sannsynligheten for å få en toer eller en sekser ved terningkast er lik 16.

Definisjon av sannsynlighet

De store talls lov. Sannsynlighet


Dersom vi gjentar et forsøk mange nok ganger, vil den relative frekvensen for et utfall nærme seg ett bestemt tall. Dette tallet sier vi er sannsynligheten for utfallet.

 

Vi bruker bokstaven P for sannsynlighet etter probability, som er det engelske ordet for sannsynlighet.

 

P(sekser) = 16 er en kortfattet skrivemåte for «sannsynligheten for å få en sekser» ved kast av en terning.

 

Ved sannsynlighet gjelder også

  • Sannsynligheten for hvert enkelt utfall er et tall mellom 0 og 1 (0 % og 100 %)
  • Sannsynligheten for alle utfallene er til sammen lik 1 (100 %)
 

Sannsynlighetsmodeller

En oversikt over alle utfall og sannsynlighetene til de enkelte utfall i et forsøk kalles en sannsynlighetsmodell.

Tabellen viser en sannsynlighetsmodell for kast med én terning

Kast av terning. Tabell.   

I denne sannsynlighetsmodellen er sannsynlighetene for alle utfallene like store. Vi sier da at sannsynlighetsmodellen er uniform.

BlodgiverBlodgiver ved blodbanken på St. Olavs Hospital i Trondheim.Et eksempel på en sannsynlighetsmodell som ikke er uniform, er modellen for blodtype til en blodgiver.

Som du ser av tabellen nedenfor er sannsynlighetene for de enkelte utfallene ikke like store.

Blodtype0ABAB
Sannsynlighet0,400,480,080,04

(Datamaterialet er hentet fra Pasienthandboka)

 

 

Andre eksempler på tilfeldige hendelser

Å kaste en terning er et tilfeldig forsøk. Vi vet hvilke utfall som er mulige, men hva utfallet blir i et enkelt kast er tilfeldig.

Kast med tegnestifter

Tegnestifter Å kaste en tegnestift er også et tilfeldig forsøk. Det er to mulige utfall av forsøket. Tegnestiften kan lande med spissen opp eller med spissen ned.

U = {spissen opp, spissen ned}

Simuleringer i sannsynlighet finner du en simulering av kast med tegnestift, simulering nummer 7. Gå gjennom oppgavene i simuleringen og sammenlikn den sannsynlighetsmodellen du får med den dine medelever får.

Vi fikk følgende resultat etter 60 000 kast.

Tegnestiftsimulering resultat  

De relative frekvenser varierer, men allerede med så få kast kan det tyde på at med to siffers nøyaktighet er den relative frekvensen for spiss opp 0,77 og for spiss ned 0,23.

Vi kan si at sannsynligheten for å få spiss opp ved kast av tegnestiften er lik 0,77 og for spiss ned 0,23. Sannsynlighetsmodellen er ikke er uniform.

Kast av en tikrone

Når vi kaster en tikrone er det lik sannsynlighet for kron og mynt i hvert kast.

Tabell over sannsynlighet ved myntkast   

Tabellen viser sannsynlighetsmodellen. Den er uniform.

Kast av to tikroner

Hvordan tror du sannsynlighetsmodellen vil bli dersom vi kaster to tikroner?

Ser du at vi da får tre ulke utfall?

Vi kan få to kron, to mynt eller en kron og en mynt.

  • Skriv ned sannsynligheten du tror det er for disse tre utfallene.
  • Kast to tikroner 50 ganger og regn ut den relative frekvensen for de tre utfallene.
  • Ta dine resultater og legg disse sammen med en medelev.
  • Finn den relative frekvensen nå.
  • Ble resultatet som du hadde trodd?

Dersom du tok feil, så er du i godt selskap. Det synes umiddelbart rimelig at de tre utfallene har like stor sannsynlighet. Det siste utfallet kan imidlertid også ses på som to forskjellige utfall, nemlig kron + mynt og mynt + kron. Da har forsøket 4 utfall, hver med like stor sannsynlighet. Slår vi sammen de to siste utfallene til ett, slik vi gjorde i oppgaven, får dette utfallet dobbelt så stor sannsynlighet som de to andre.

Diverse hendelser ved myntkast. Illustrasjon.   

Dette viser at sannsynlighetsberegninger fort kan bli mer komplisert enn det ser ut til. Smarte personer kan utnytte dette i pengespill.

Gå inn på Simuleringer i sannsynlighet, velg simulering nummer 2 og se om lar deg lure av banken!

To backgammonspillere. Foto.Når du spiller spill, må du ta avgjørelser om sannsynlige hendelser.  

Relatert innhold

Fagstoff

Generelt