Eksponentiallikninger uten bruk av digitale verktøy

Når vi skal løse eksponentiallikninger uten bruk av digitale verktøy, bruker vi at logaritmen til en potens er lik eksponenten multiplisert med logaritmen til grunntallet

$\lg a^x=x·\lg a$

Vi kan bevise at denne sammenhengen gjelder ved å ta utgangspunkt i definisjonen av logaritmer og regnereglene for potenser.

Bevis

Definisjonen av logaritmer gir at $a={10}^{\lg a}$.

Vi bruker så regnereglene for potenser og får

$a^x={\left({10}^{\lg a}\right)}^x={10}^{\left(\lg a\right)·x}={10}^{x·\lg a}$

Du må altså opphøye 10 i $\left(x·\lg a\right)$ for å få $a^x$.

Det betyr etter definisjonen at

$\lg a^x=x·\lg a$

Setningen er nå bevist.

Vi kan bruke setningen til å løse eksponentiallikninger.

Gitt eksponentiallikningen

$3^x=27$

Siden logaritmen til to like tall er like, er

$\lg 3^x=\lg 27$

Logaritmesetningen sier at da er

$x·\lg 3=\lg 27$

Det gir løsningen på eksponentiallikningen

$x=\frac{\lg 27}{\lg 3}=\frac{\lg 3^3}{\lg 3}=\frac{3·\cancel{\lg 3}}{\cancel{\lg 3}}=3$

På grunn av at $27=3^3$ kan vi bruke logaritmesetningen og sette $\lg 27=\lg 3^3=3·\lg 3$ . Da kan vi forkorte med $\lg 3$ i teller og nevner slik at vi får en løsning av likningen.

Hvis ikke tallene i likningen hadde vært så spesielle, hadde vi ikke kunnet løse likningen uten bruk av digitale verktøy. Grunnen er at vi trenger et digitalt verktøy for å finne logaritmen til de fleste tall.

Det er bare tall som 10, 100, 1000 osv som vi kjenner logaritmene til.

To eksempler på eksponentiallikninger som lar seg løse uten bruk av digitale verktøy

$\begin{array}{l}3·2^x=24\\ 2^x=8\\ x=\frac{\lg 2^3}{\lg 2}\\ x=\frac{3·\cancel{\lg 2}}{\cancel{\lg 2}}\\ x=3\\ \\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{l} 3·{10}^{3x}=3000\\ {10}^{3x}=1000\\ 3x=\frac{\lg 1000}{\lg 10}\\ 3x=\frac{3}{1}\\ 3x=3\\ x=1\end{array}$