Fagstoff

Dempete svingninger

Publisert: 29.04.2013, Oppdatert: 18.10.2018

Dempede svigninger i lodd som henger i en spiralfjær. Illustrasjon.  

Hvordan virker friksjonen inn på et lodd som svinger?

Et lodd som henger i en fjær og beveger seg, vil normalt alltid være påvirket av en friksjonskraft. Dette kan for eksempel være luftmotstanden.

Friksjon vil alltid virke mot bevegelsen. Én modell for friksjonskraften, når farten ikke er for høy, er at den er proporsjonal med farten og alltid rettet mot fartsretningen.

Friksjonskraften = bv 

der b er en konstant og v er farten.

Når klossen beveger seg i positiv retning, er farten positiv og friksjonskraften negativ. Når klossen beveger seg i negativ retning, er farten negativ og friksjonskraften positiv. Friksjonskraften virker altså alltid i motsatt retning av bevegelsesretningen.

Et lodd blir trukket nedover en strekning y fra likevektsstillingen, se Figur 3, og slippes.

Newtons andre lov sier at summen av kreftene som virker på loddet er lik m·a.
Vi velger positiv retning nedover.

mg-bv-ky+s=ma

Når systemet fjær og lodd er i likevekt, se Figur 2, sier Newtons første lov at summen av kreftene som virker på loddet er null. Det gir 

 mgks=0

Vi får da

mg-bv-ky+s = mamg-bv-ky-ks=ma-bv-ky=ma

Differensiallikningen som beskriver svingebevegelsen blir

  ma+bv+ky = 0 my''+by'+ky=0y''+bmy'+kmy=0

Eksempel 

Dempede svigninger i lodd som henger i en spiralfjær. Illustrasjon. Et lodd med masse  m=1,0 kg henger i en fjær. Fjærkonstanten er k=2Nm. Loddet dras 0,5 m. nedover i positiv retning før det slippes ved  t=0. Friksjonstallet for luftmotstanden er  b=0,05 Ns/m. 

Newtons andre lov gir (husk at mgks=0)

mg-bv-ky+s = mamg-bv-ky-ks=ma-bv-ky=ma

Vi får likningen som beskriver svingebevegelsen.

ma+bv+ky = 0my''+bv'+ky=0y''+bmy'+kmy=0y''+0,051,0y'+21,0y=0y''+0,05y'+2y=0

Den karakteristiske likningen blir

r2+0,05r+2=0

Den karakteristiske likningen skal vi se har to komplekse løsninger.

r2+0,05r+2 = 0r=-0,05±0,0025-82r1=-0,025+1,41i      r2=-0,0025-1,41i

Den generelle løsningen er

y = eAxCsinBx+DcosBx=e-0,025tCsin1,41t+Dcos1,41t

Startbetingelsen y0=0,5 gir

0,5 = e-0,025·0Csin1,41·0+Dcos1,41·00,5=DD=0,5

Ved tiden null er også farten null. Vi deriverer derfor uttrykket for  y og setter y'0=0

y = e-0,025tCsin1,41t+0,5cos1,41ty'=-0,025e-0,025tCsin1,41t+0,5cos1,41t+e-0,025t1,41Ccos1,41t-1,41·0,5sin1,41t0=-0,25e-0,025·0Csin1,41·0+0,5cos1,41·0+e-0,025·01,41Ccos1,41·0-1,41·0,5sin1,41·0=0,025·0,5+1,41CC=0,025·0,51,41=0,00887

Likningen for avstanden fra likevektslinjen som funksjon av tiden blir da

y = e-0,025tCsin1,41t+Dcos1,41t=e-0,025t0,00887sin1,41t+0,5cos1,41t

I CAS i GeoGebra skriver vi "LøsODE(y″-0.05y′+2y=0, (0, 0.5),(0,0))".

Grafen viser at utslaget fra likevekttilstanden (amplituden) blir mindre og mindre. Dette kalles en dempet svingning.

Bilde av koordinatsystem 

Vi tenker oss nå at loddet med massen  m=1,0 kg henger i en mindre stiv fjær inne i en beholder med seig væske slik at friksjonskoeffisienten er  b=1,5 Ns/m. Fjærkonstanten er k=0,5Nm. Loddet dras 0,5 m nedover i positiv retning før det slippes ved t=0.

Vi må nå løse differensiallikningen

y''+bmy'+kmy = 0y''+1,51,0y'+0,51,0y=0y''+1,5y'+0,5y=0

Den karakteristiske likningen blir

r2+1,5r+0,5=0

Den karakteristiske likningen har nå to reelle løsninger

r2+1,5r+0,5 = 0r=-1,5±2,25-22=-0,75±0,25r1=-0,5          r2=-1

Den generelle løsningen på posisjonslikningen er

y = Cer1x+Der2x=Ce-0,5t+De-t

Startbetingelsen y(0)=0,5 gir

0,5 = Ce-0,5·0+De0             0,5=C+D

Den andre startbetingelsen var at ved tiden null er også farten null. Vi deriverer derfor uttrykket for y og setter y'0=0.

y=Ce-0,5t+De-1y'=-0,5Ce-0,5t-De-t0 = -0,5Ce-0,5·0-De-1·0=-0,5C-DD=-0,5C

Vi kombinerer de to likningene med C  og D.

0,5=C+(-0,5C)C=1D = -0,5C=-0,5

Likningen for posisjonen til loddet som funksjon av tiden blir da

y = Ce-0,5t+De-t=e-0,5t-0,5e-t

I CAS i GeoGebra skriver vi "LøsODE(y″+1.5y′+0.5y=0, (0, 0.5),(0,0))".

Bilde av et koordinatsystem 

Grafen viser at loddet gradvis nærmer seg likevektslinjen. Friksjonen er så stor at loddet ikke vil svinge om likevektslinjen. Vi har overdempet svingning.

 

Oppsummering

Likningen for frie svingninger i et kloss-fjær-system er

 

y''+bmy'+kmy=0

 

Her er m massen til klossen, k  fjærkonstanten og b  friksjonskonstanten.

 

Hvis  b=0, får vi harmoniske (udempete) svingninger.

 

Hvis b>0 , får vi dempete svingninger.

Med frie svingninger mener vi at kloss-fjær-systemet ikke er påvirket av andre ytre krefter enn tyngdekraft og friksjon. Det er ingen andre krefter som påvirker svingningen på noen måte.