Retningsdiagrammer

Retningsdiagram

Noen differensiallikninger kan være vanskelige å løse. Det er da mulig å finne en grafisk løsning ved å skissere noen integralkurver.

Dette kan vi gjøre ved å tegne såkalte retningsdiagrammer. Vi bruker da at den deriverte er lik stigningstallet til tangenten til kurven i et punkt og i utvalgte punkter i koordinatsystemet tegner vi et lite linjestykke som viser retningen på tangenten til kurven i punktet.

I differensiallikningen y´=2x er stigningstallet til tangenten lik -4 i alle punkter med x-koordinat lik -2. Vi tegner et lite linjestykke med stigningstall -4 i utvalgte punkter med x-koordinat lik -2. I utvalgte punkter der x=3 tegner vi linjestykker med stigningstall 6 osv.

Mengden av alle disse små linjestykkene som viser retningen til integralkurvene gjennom punktene kalles for et retningsdiagram for differensiallikningen. Et retningsdiagram kan lages «for hånd», men i GeoGebra kan det lages med kommandoen «Retningsdiagram[ <f(x, y)> ]», hvor f(x,y)=y´. I vårt eksempel blir kommandoen «Retningsdiagram[ 2x]». I vårt eksempel er den deriverte bare en funksjon av x. Derfor får vi her samme stigningstall for samme x-koordinat.

Det er nå mulig «for hånd» å skissere en integralkurve ved å starte i et punkt og følge retningen til kurven som retningsdiagrammet viser. Dette er ikke så lett, så vi bruker heller GeoGebra.

Integralkurven som går gjennom punktet får vi ved kommandoen «LøsODE[2x, (2,2)]», og gjennom (1,2) med kommandoen «LøsODE[2x, (1,2)]».

Vi kan da tolke grafene vi får som at $y=x^2+C$ er løsningen på differensiallikningen.