Andre anvendelser av integrasjon, samlet mengde

Samlet mengde 

Vi har sett at ved å regne med bestemte integraler, kan vi finne arealet under kurver. Vi kan også bruke bestemte integraler til å løse andre typer problemer.

Samlet menge

Eksempel

Erlend er ferdig med sin utdannelse og blir tilbudt jobb. Lønnsbetingelsene er å starte med en årlig inntekt på 270 000 kroner for deretter å stige i lønn med 7 % per år.

Hva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 20 årene?

Hva vil den samlede inntekten til Erlend være de neste 20 årene?

Løsning

Lønnen etter x år vil være gitt ved funksjonen $L\left(x\right)=270 000·1,{07}^x$.

Hvis lønnen justeres én gang per år vil samlet lønn for 20 år være

$\begin{array}{l}270 000·1+27 000·1,07·1+270 000·1,{07}^2·1+....+270 000·1,{07}^{19}·1=\\ f\left(0\right)·1+f\left(1\right)·1+f\left(2\right)·1+....+f\left(19\right)·1\approx 11 068 783\approx 11 000 000\end{array}$

Ser du at samlet lønn er representert med summen av arealene til rektanglene nedenfor?

Til å regne ut den samlede lønnen kan vi bruke kommandoen SumUnder[ ] i GeoGebra.

Hvis lønnen justeres hver måned, kan vi dele hvert rektangel i 12 mindre rektangler, og de små hvite feltene mellom kurven og rektanglene blir veldig små. Dersom lønnen stiger jevnt gjennom hele året, vil det bestemte integralet gi en helt riktig verdi av samlet lønn.