Fagstoff

Forventningsverdi og varians for summer av stokastiske variabler

Publisert: 09.04.2013, Oppdatert: 03.09.2018

Vi trenger regneregler for forventningsverdi og varians til summer av stokastiske variabler.

Tenk deg nå at vi lager to pengespill ved kast av to tikroner. Gevinstene i de to spillene er gitt ved de stokastiske variablene $Y$ og $Z$ .

I det første spillet er gevinsten null hvis du får null kron, gevinsten er 5 kroner hvis du får én kron og gevinsten er 10 kroner hvis du får to kron.
$Y$ kan altså ha de tre verdiene 0, 5 og 10 med sannsynlighetsfordelingen gitt i tabellen nedenfor.

I det andre spillet er gevinsten 2 kroner hvis du får null kron, gevinsten er 7 kroner hvis du får én kron og gevinsten er 12 kroner hvis du får to kron.
$Z$ kan altså ha de tre verdiene 2, 7 og 12 med sannsynlighetsfordelingen gitt i tabellen nedenfor.

*$y$*	0	5	10	Sum	$SD (Y)$
$P (Y = y)$	0,25	0,50	0,25	1
$y \cdot P (Y = y)$	0	2,50	2,50	$μ = 5, 00$
$(y - μ) 2 \cdot P (Y = y)$	6,25	0	6,25	$Var (Y) = 12, 5$	$σ = 3, 54$

*$z$*	2	7	12	Sum	$SD (Z)$
$P (Z = z)$	0,25	0,50	0,25	1,0
$z \cdot P (Z = z)$	0	3,50	3,00	$μ = 7, 00$
$(z - μ) 2 \cdot P (Z = z)$	6,25	0	6,25	$Var (Z) = 12, 5$	$σ = 3, 54$

Tabellene viser også beregninger av forventningsverdi, varians og standardavvik til de stokastiske variablene $Y$ og $Z$ .

Vi lager et nytt spill som består i å spille begge spillene ovenfor og definerer samlet gevinst som en ny stokastisk variabel som vi kaller $S$ .

Det betyr at $S = Y + Z$ . Er du enig i at de mulige gevinstene nå er 2, 7, 12, 17 og 22 kroner?

De to enkeltspillene som spill $S$ består av, er uavhengige av hverandre. Det betyr at resultatet fra spill $Y$ ikke påvirker resultatet i spill $Z$ .

Verdimengden til $S$ består av alle kombinasjoner av verdier fra $Y$ og $Z$ . Ved hjelp av addisjons- og produktsetningene for uavhengige hendelser kan vi regne ut sannsynlighetene for de enkelte verdiene i $S$ .

$\begin{array}{rcl} P (S = 2) & = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 2) = 0, 25 \cdot 0, 25 = 0, 0625 \\ P (S = 7) & = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 7) + P (Y = 5) \cdot P (Z = 2) \\ = & 0, 25 \cdot 0, 5 + 0, 5 \cdot 0, 25 = 0, 25 \\ P (S = 12) & = & P (Y = 0) \cdot P (Z = 12) + P (Y = 5) \cdot P (Z = 7) + P (Y = 10) \cdot P (Z = 2) \\ = & 0, 25 \cdot 0, 25 + 0, 5 \cdot 0, 5 + 0, 25 \cdot 0, 25 = 0, 0625 + 0, 25 + 0, 0625 = 0, 375 \\ P (S = 17) & = & P (Y = 5) \cdot P (Z = 12) + P (Y = 10) \cdot P (Z = 7) \\ = & 0, 5 \cdot 0, 25 + 0, 25 \cdot 0, 5 = 0, 25 \\ P (S = 22) & = & P (Y = 10) \cdot P (Z = 12) = 0, 25 \cdot 0, 25 = 0, 0625 \end{array}$

Vi setter resultatene inn i en tabell og regner ut forventningsverdi og varians for $S$ .

*$s$*	2	7	12	17	22	Sum
$P (S = s)$	0,0625	0,250	0,375	0,250	0,0625
$s \cdot P (S = s)$	0,125	1,750	4,50	4,25	1,375	$μ = 12, 0$
$(s - μ) 2 \cdot P (S = s)$	6,25	6,25	0,00	6,25	6,25	$Var (S) = 25, 0$

Denne tabellen sammen med tabellene for $Y$ og $Z$ viser at

$\begin{array}{l} E (S) = 12 = 5 + 7 = E (Y) + E (Z) \\ Var (S) = 25 = 12, 5 + 12, 5 = Var (Y) + Var (Z) \end{array}$

Disse sammenhengene gjelder generelt. (Vi tar ikke med bevisene her.)

Det betyr også at når vi gjentar samme forsøk et bestemt antall ganger, er samlet forventningsverdi og varians lik forventningsverdi og varians til enkeltforsøket multiplisert med antall forsøk.

Forventningsverdi og varians for summer av stokastiske variabler

La $X$ og $Y$ være to uavhengige stokastiske variabler.

Da er

$\begin{array}{l} E (X + Y) = E (X) + E (Y) \\ Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) \end{array}$

La $X$ være en stokastisk variabel med forventningsverdi $μ_{X}$ og standardavvik $σ_{X} = \sqrt{Var (X)}$ .
La $S$ være summen av $n$ uavhengige forsøk med $X$ .

$S = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}$

Da er

$\begin{array}{l} μ_{S} = E (S) = n \cdot E (X) = n \cdot μ_{X} \\ Var (S) = n \cdot Var (X) \\ σ_{S} = SD (S) = \sqrt{Var (S)} = \sqrt{n \cdot Var (x)} = \sqrt{n} \cdot \sqrt{Var (x)} = \sqrt{n} \cdot σ_{X} \end{array}$