Andre anvendelser av integrasjon, volum

Volum av kule 

Volum

Tenk deg at du deler et egg med eggdeler. Da får du parallelle skiver med samme tykkelse, men med ulik størrelse. Skivene får tilnærmet form som sylindre.

Summen av volumene til alle skivene er lik volumet
til egget.Egget deles opp i skiver med samme tykkelse. Skivene får tilnærmet form som sylindre.

Av figuren ovenfor ser du at $A\left(x\right)·∆x$ er en tilnærmingsverdi for volumet av én skive.

En tilnærmingsverdi for det samlede volumet kan vi finne ved å summere volumet av alle skivene. Når $∆x$ blir veldig liten, nærmer denne summen seg volumet av egget

$V=\underset{∆x\to 0}{\lim }\underset{x_1}{\overset{x_2}{\Sigma }}A\left(x\right)·∆x=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}A\left(x\right)\mathrm{dx}$

Volumet av en kule

Vi kan bruke dette til å vise at volumet av en kule er gitt ved $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$.

Til høyre har vi tegnet en kule med radius r.
Snittflaten i kulen er en sirkel. Radius i denne sirkelen kaller vi r_x.

Arealet av snittsirkelen er da

$A\left(x\right)={{\mathrm{\pi r}}_x}^2$

Vi bruker Pytagoras’ setning og finner r_x uttrykt ved r og x

$\begin{array}{l}{r_x}^2=r^2-x^2\\ \\ r_x=\sqrt{r^2-x^2}\end{array}$

Husker du formlene for å regne ut volumet av de geometriske formene ovenfor? Hvilke av formlene kan vi se ved hjelp av integrasjon? Arealet av snittflaten er dermed gitt ved

$\begin{array}{l}A\left(x\right)=\pi ·{r_x}^2=\pi ·{\left(\sqrt{r^2-x^2}\right)}^2\\ =\pi \left(r^2-x^2\right)\end{array}$

Volumet blir

$\begin{array}{l}V=\underset{-r}{\overset{r}{\int }}\pi \left(r^2-x^2\right)\mathrm{dx}\\ \\ =\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{dx}-\underset{-r}{\overset{r}{\int }}{\mathrm{\pi x}}^2\mathrm{dx}\\ \\ ={\mathrm{\pi r}}^2\underset{-r}{\overset{r}{\int }}1\mathrm{dx}-\pi \underset{-r}{\overset{r}{\int }}{x}^2\mathrm{dx}\\ \\ ={\mathrm{\pi r}}^2·{}_{-r}{}^r\left[x\right]-\left(\pi {}_{-r}{}^r\left[\frac{1}{3}{x}^3\right]\right)\end{array}$

$\begin{array}{l} ={\mathrm{\pi r}}^2·\left(r-\left(-r\right)\right)-\left(\pi ·\left(\frac{1}{3}{r}^3-\left(-\frac{1}{3}{r}^3\right)\right)\right)\\ \\ ={\mathrm{\pi r}}^3+{\mathrm{\pi r}}^3-\left(\frac{{\mathrm{\pi r}}^3}{3}+\frac{{\mathrm{\pi r}}^3}{3}\right)\\ \\ =\frac{3{\mathrm{\pi r}}^3+3{\mathrm{\pi r}}^3-{\mathrm{\pi r}}^3-{\mathrm{\pi r}}^3}{3}\\ \\ =\frac{4{\mathrm{\pi r}}^3}{3}\end{array}$