Derivasjon

I 1T arbeidet vi med den momentane vekstfarten, eller den deriverte, til en funksjon. Vi starter med litt repetisjon.

Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen f i punktet $A\left(x,f\left(x\right)\right)$.

Vi gir x et tillegg $\mathrm{\Delta x}$, og får et nytt punkt på grafen

$B=\left(x+\mathrm{\Delta x},f\left(x+\mathrm{\Delta x}\right)\right)$

Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.

Vi regner ut stigningstallet til denne linjen

$a=\frac{\mathrm{\Delta y}}{\mathrm{\Delta x}}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\left(x+\mathrm{\Delta x}\right)-x}=\frac{f\left(x+\mathrm{\Delta x}\right)-f\left(x\right)}{\mathrm{\Delta x}}$

Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B.

Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså $\mathrm{\Delta x}$ gå mot null.

Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A.

Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet A. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten eller den deriverte til f i punktet A. Vi skriver $f\text{'}\left(x\right)$og leser « f derivert av x ». Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på f, $f\text{'}$.

Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt (x,f(x)) kan vi definere en ny funksjon $f\text{'}$ der vi til hver x tilordner verdien $f\text{'}\left(x\right)$. På denne måten har funksjonen f generert en ny funksjon $f\text{'}$. Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen.