Derivasjon
I 1T arbeidet vi med den momentane vekstfarten, eller den deriverte, til en funksjon. Vi starter med litt repetisjon.
Vi ønsker å finne den momentane vekstfarten til funksjonen f i punktet .
Vi gir x et tillegg , og får et nytt punkt på grafen
Vi trekker en sekant (grønn linje) gjennom punktene A og B.
Vi regner ut stigningstallet til denne linjen
Vi har da funnet et uttrykk for gjennomsnittlig vekstfart fra A til B.
Vi lar nå punktet B nærme seg punktet A. Vi lar altså gå mot null.
Da vil sekanten (grønn) gradvis nærme seg til å bli en tangent (rød linje) til kurven i A.
Stigningstallet til denne tangenten forteller hvor fort grafen vokser akkurat i punktet A. Vi kaller dette stigningstallet for den momentane veksten eller den deriverte til f i punktet A. Vi skriver og leser « f derivert av x ». Legg merke til tegnet for den deriverte, en liten apostrof på f, .
Den deriverte
Vi ser på grafen ovenfor.
er den verdien nærmer seg mot når går mot null.
Definisjon
Den deriverte i et punkt er stigningstallet til tangenten til grafen i dette punktet.
Den deriverte i et punkt og den momentane vekstfarten i punktet er det samme.
Fra denne definisjonen av den deriverte i et punkt (x,f(x)) kan vi definere en ny funksjon der vi til hver x tilordner verdien . På denne måten har funksjonen f generert en ny funksjon . Derfor kalles denne for den deriverte funksjonen.
Kontekst
Kompetansemål
- Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering
Inngår i
- Funksjoner (Fagstoff for Matematikk S2)
- Matematikk S2 (Fag)