Fagstoff

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Publisert: 22.04.2013, Oppdatert: 05.03.2017

Den deriverte av en trigonometrisk funksjon

Sammenlikn grafene til (sinx)´ og cosx .

Kan du ut fra grafene tippe hva (sinx)´ og (cosx)´ er lik?

Det kan vises at (sinx)´ = (cosx) forutsatt at vinkelen måles i radianer.

Ved å bruke denne formelen sammen med kjerneregelen og kvotientregelen kan vi utlede formlene for den deriverte til cosinus- og tangensfunksjonen.

$\begin{array}{l} (cosx)' = (\sin (\frac{π}{2} - x))' = \cos (\frac{π}{2} - x) \cdot (- 1) = - sinx \\ (tanx)' = (\frac{sinx}{cosx})' = \frac{(sinx)' \cdot cosx - sinx \cdot (cosx)'}{(cosx)^{2}} \\ = \frac{cosx \cdot cosx - sinx \cdot (- sinx)}{(cosx)^{2}} = \frac{(cosx)^{2} + (sinx)^{2}}{(cosx)^{2}} \\ = \frac{1}{\cos^{2} x} \end{array}$

Følgende formler for derivasjon av trigonometriske uttrykk gjelder:

$\begin{array}{l} {(sinx)}^{'} = cosx \\ {(cosx)}^{'} = - sinx \\ {(tanx)}^{'} = \frac{1}{\cos^{2} x} eller {(tanx)}^{'} = 1 + \tan^{2} \end{array}$

Dersom vinklene er gitt ved kx, bruker vi kjerneregelen med $u = kx$ og får

$\begin{array}{l} {(sinkx)}^{'} = k \cdot coskx \\ {(coskx)}^{'} = - k \cdot sinkx \\ {(tankx)}^{'} = k \cdot \frac{1}{\cos^{2} kx} eller {(tankx)}^{'} = k \cdot (1 + \tan^{2} kx) \end{array}$