Krumningsforhold og vendepunkter

Vi fortsetter med funksjonen f fra Eksempel 2 gitt ved

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1$

Vi deriverer funksjonen 2 ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$.
Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-2x+1\\ f\text{'}\left(x\right)=x^2-x-2\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)=2x-1\end{array}$

Vi setter opp fortegnslinja til $f\text{'}\text{'}\left(x\right)$

Det viser seg at

• grafen vender sin hule side opp når $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$
• grafen vender sin hule side ned når $f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$
• grafen har et vendepunkt når $f\text{'}\text{'}\left(x\right)=0$

At grafen vender sin hule side opp, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)>0$, betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.

At grafen vender sin hule side ned, $f\text{'}\text{'}\left(x\right)<0$, betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.

Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles for et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles for en vendetangent.

Den deriverte har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.

Merk at et punkt ikke trenger være et vendepunkt selv om den dobbeltderiverte er null i punktet. Den dobbeltderiverte må også skifte fortegn!

Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten!

  Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er maksimalpunkt eller minimalpunkt.

Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette

Gitt funksjonen f(x) definert i CAS-vinduet.

Siden $f\text{'}\left(-1\right)=0 \mathrm{og} f\text{'}\text{'}\left(-1\right)$ er negativ, har grafen «hul side ned» og
x = -1 er et maksimalpunkt.

Siden $f\text{'}\left(2\right)=0 \mathrm{og} f\text{'}\text{'}\left(2\right)$ er positiv, har grafen «hul side opp» og
x = 2 er et minimalpunkt.

Grafen har toppunkt $\left(-1,\frac{13}{6}\right)$

Grafen har bunnpunkt $\left(2,-\frac{7}{3}\right)$