Krumningsforhold og vendepunkter
Vi fortsetter med funksjonen f fra Eksempel 2 gitt ved
Vi deriverer funksjonen 2 ganger. Da får vi den andrederiverte eller den dobbeltderiverte .
Legg merke til skrivemåten, nå med to apostrofer.
Vi setter opp fortegnslinja til
Det viser seg at
- grafen vender sin hule side opp når
- grafen vender sin hule side ned når
- grafen har et vendepunkt når
At grafen vender sin hule side opp, , betyr at den deriverte vokser. Det vil si at selve funksjonen vokser mer og mer eller avtar mindre og mindre.
At grafen vender sin hule side ned, , betyr at den deriverte avtar. Det vil si at selve funksjonen avtar mer og mer eller vokser mindre og mindre.
Et punkt på grafen hvor grafen skifter mellom å vende sin hule side ned og å vende sin hule side opp, eller motsatt, kalles for et vendepunkt. Tangenten til grafen i et slikt punkt kalles for en vendetangent.
Den deriverte har enten sin største verdi eller sin minste verdi i vendepunktet. Det vil si at funksjonen vokser raskest eller avtar raskest i vendepunktet.
Merk at et punkt ikke trenger være et vendepunkt selv om den dobbeltderiverte er null i punktet. Den dobbeltderiverte må også skifte fortegn!
Toppunkt eller bunnpunkt? Dobbeltderiverttesten!
Vi har brukt fortegnslinje til den deriverte for å avgjøre om et ekstremalpunkt er maksimalpunkt eller minimalpunkt.
Den dobbeltderiverte gir oss en ny metode for å avgjøre dette
Gitt funksjonen f(x) definert i CAS-vinduet.
Siden er negativ, har grafen «hul side ned» og
x = -1 er et maksimalpunkt.
Siden er positiv, har grafen «hul side opp» og
x = 2 er et minimalpunkt.
Grafen har toppunkt
Grafen har bunnpunkt
Kontekst
Kompetansemål
- Læreplan i matematikk for realfag - programfag i utdanningsprogram for studiespesialisering
Inngår i
- Funksjoner (Fagstoff for Matematikk R1)
- Matematikk R1 (Fag)