Skjæring mellom to plan. Mer om likningsfremstilling av linjer

Skjæring mellom planEksempel - Parameterfremstilling for plan i rommet 

Det er ikke mulig å beskrive en linje i rommet ved hjelp av én likning. Husk at en likning som inneholder x, y og z, gir et plan i rommet!

Når to plan skjærer hverandre i rommet, blir mengden av fellespunktene en rett linje. Det betyr at vi kan oppfatte to likninger for to plan som et likningssett som beskriver en rett linje.

 To plan $\alpha$ og $\beta$ er gitt ved

$\begin{array}{l}\alpha : 2x+3y+4z+4=0\\ \beta : 6x-7y-8z-4=0\end{array}$

En likningsfremstilling for en rett linje l i rommet kan for eksempel være gitt ved likningssettet

$\left[\begin{array}{c}2x+3y+4z+4=0\\ 6x-7y-8z-4=0\end{array}\right]$

Vi ønsker å finne en parameterfremstilling for linjen l. 

Dette gjør vi på følgende måte:

• En retningsvektor for skjæringslinjen mellom to plan må være parallell med begge planene. Retningsvektoren må derfor stå normalt på normalvektorene til begge planene. Vi finner en retningsvektor for linjen som vektorproduktet av normalvektorene til de to planene. En retningsvektor for linjen er [1,10,-8]
  
  
• Vi finner et punkt på linjen ved å sette en av koordinatene lik null, og så løse likningssettet. (Hvorfor er dette riktig?). Merk! Dette vil ikke alltid fungere første forsøk. Hvis vi setter $z=0$ og linja er vinkelrett på z-aksen, kan det være slik at ingen punkt på linja har $z=0$. Men da er det bare å prøve på nytt med å sette $y=0$.
   
• Vi har da det vi trenger for å finne parameterfremstillingen for linjen.