Plan gitt ved tre punkter

Plan gitt ved tre punkter 

Noen ganger har vi bare oppgitt tre punkter i planet.

Vi skal finne likningen for et plan $\alpha$ som går gjennom punktene

A(4,0,0), B(2,3,0) og C(0,0,2).

Vi må da først finne en normalvektor for planet.

Siden $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ og $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ er parallelle med planet, vil $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ være en normalvektor for planet.

$\begin{array}{l}\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\left[2-4,3-0,0-0\right]=\left[-2,3,0\right]\\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\left[0-4,0-0,2-0\right]=[-4,0,2]\\ \\ \overrightarrow{\mathrm{AB}}\times \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[-2,3,0]\times [-4,0,2]\end{array}$

Vi bruker så at likningen for et plan kan skrives som

$a·\left(x-x_0\right)+b·\left(y-y_0\right)+c·\left(z-z_0\right)=0$

Som punktet $\left(x_0,y_0,z_0\right)$ kan vi bruke et av de tre punktene A, B eller C. Vi velger her å bruke punktet A(4,0,0) og får

Her er det bra å ha for vane å kontrollere at alle de tre punktene passer i planlikningen. Det er ikke mye arbeid og vil avsløre om noe er blitt feil.

For eksempel ser vi at A(4,0,0) passer i planlikningen fordi $3·4+2·0+6·0-12=12-12=0$.