Fagstoff

Plan gitt ved normalvektor og punkt i planet

Publisert: 06.11.2012, Oppdatert: 04.09.2018

Når vi kjenner et punkt i et plan og en normalvektor til planet kan vi finne likningen for planet.

Plan gitt ved punkt og normalvektor - Eksempel  

 

Bilde av plan i ett rom  

La α være et plan i rommet. La videre Qx0,y0,z0 være et fast punkt i planet og n=a,b,c en normalvektor til planet, det vil si en vektor som står normalt på planet.

For et tilfeldig punkt, Px,y,z som ligger i planet, gjelder

                                           QP·n=0          x-x0,y-y0,z-z0·a,b,c=0a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0

Vi har fått en likning som beskriver planet α. Alle punkter x,y,z  som tilfredsstiller likningen, ligger i planet.

Vi kan erstatte de konstante leddene i likningen med en konstant, og vi får likningen for planet gitt på den mest vanlige formen

 

Legg merke til at når vi har oppgitt likningen for et plan, så har vi også oppgitt en normalvektor for planet. Se likningen.

 

   a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0          ax-ax0+by-by0+cz-cz0=0        ax+by+cz-ax0+by0+cz0=0                             ax+by+cz+d=0

 

Likningen for et plan

 

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0

 

er likningen for et plan som går gjennom punktet Qx0,y0,z0

og har normalvektor n=a,b,c.

 

Når vi multipliserer ut parentesene, får vi en likning gitt på formen

 

ax+by+cz+d=0

 

der d=-ax0+by0+cz0

Eksempel

Bilde av et plan i rom La n2,3,4 være en normalvektor til 
planet β. Punktet Q1,2,3 ligger i planet. 
La Px,y,z være et vilkårlig punkt i planet.

Vi har da

                        QP·n=0x-1,y-2,z-3·2,3,4=02x-1+3y-2+4z-3=0      2x-2+3y-6+4z-12=0              2x+3y+4z-20=0

 

som er likningen for planet.

Dette kunne vi også funnet ved å sette direkte inn i likningen for et plan

a·x-x0+b·y-y0+c·z-z0=0       2x-1+3y-2+4z-3=0             2x-2+3y-6+4z-12=0                     2x+3y+4z-20=0

 

Oppgaver

Generelt