Fagstoff

Avstand mellom to linjer i rommet

Publisert: 06.11.2012, Oppdatert: 12.09.2018

Avstand mellom to linjer i rommet

Vi måler den korteste avstanden mellom to linjer m og n langs en linje som står vinkelrett på både m og n.

Bilde av to linjer  Fremgangsmåten for å finne den korteste avstanden mellom to linjer i rommet er slik:

  • Vi lar P være et punkt på m, og Q et punkt på n.
  • Vi setter opp et generelt uttrykk for PQ.
  • Vi bruker at PQ står vinkelrett på retningsvektorene
    for både m og n.
  • Vi finner PQ.

Eksempel

Vi skal finne avstanden mellom to linjer i rommet gitt ved

m:{x=ty=1+tz=2+2t  ,    n:{x=3+sy=sz=-2s

Vi viser fremgangsmåten med og uten bruk av CAS.

Linjen m har retningsvektor vm=1, 1, 2, og linjen n har retningsvektoren vn=1, 1, -2.

Pt, 1+t, 2+2t er et vilkårlig punkt på m, og Q3+s, s, -2s er et vilkårlig punkt på n.

Vi finner først PQ.

PQ = 3+s-t, s-1+t, -2s-2+2t=s-t+3, s-t-1, -2s-2t-2

Utregning av vektor i CAS GeoGebra. Bilde.  

PQvmPQ·vm = 0                                     PQ·vm=0s-t+3, s-t-1, -2s-2t-2·1, 1, 2=0            s-t+3+s-t-1-4s-4t-4=0                               -2s-6t-2=0                                 -s-3t-1=0

Utregning av vektor i CAS GeoGebra. Bilde.   

PQvnPQ·vn = 0PQ·vn=0s-t+3, s-t-1, -2s-2t-2·1, 1, -2=0s-t+3+s-t-1+4s+4t+4=06s+2t+6=03s+t+3=0

Beregne vektori i CAS GeoGebra. Bilde.

Dette gir oss altså to likninger med to ukjente. Vi løser likningssettet og finner de verdiene for s og t som er slik at PQvm og PQvn.

-s-3t-1=0    3s+t+3=0s=-3t-13-3t-1+t+3=0-9t-3+t+3=0-8t=0t=0s=-3t-1=3·0-1=-1t=0  s=-1

 

Beregne lengde av vektor i CAS GeoGebra. Utklipp.  

Vi setter disse verdiene inn i utrykket for PQ for å finne koordinatene til den vektoren som står normalt på retningsvektorene til de to linjene.

PQ = s-t+3, s-t-1, -2s-2t-2=-1-0+3, -1-0-1, -2·-1-2·0-2=2, -2, 0

Beregne vektori i CAS GeoGebra. Bilde.

Til slutt finner vi lengden av PQ.

PQ=22+-22+02=8=22

Beregne vektorlengde i CAS GeoGebra. Bilde.  

Avstanden mellom de to linjene er 22.

Oppgaver

Generelt