Fagstoff

Retningsvektor og punkt på linje. Likningsfremstilling av linje

Publisert: 03.11.2012, Oppdatert: 04.09.2018

Parameterfremstilling for en rett linje 2

Når en linje er gitt på parameterform, ønsker vi ofte å finne et punkt på linjen og en retningsvektor for linjen. 

Vi kan finne et punkt på linjen gitt ved

x=3+2t    y=4+4t    z=2+8t

ved å sette t=0. Vi får da punktet 3, 4, 2. Tallene som står «sammen med t», danner en retningsvektor for linjen, nemlig vektoren 2, 4, 8.

Fra matematikk R1 husker du kanskje at fartsvektoren var den deriverte til posisjonsvektoren.

v=OP'

Vi får at

v=OP'=3+2t, 4+4t, 2+8t'=2, 4, 8

Generelt er 

v=OP'=x0+at, y0+bt, z0+ct'=a, b, c

en retningsvektor for linjen og viser at fartsvektoren er parallell med linjen, som rimelig er.

Et punkt på linjen kan vi, som nevnt ovenfor, finne ved å sette parameteren lik null. Vi får da punktet x0, y0, z0.

Likningsfremstilling til en linje gitt på parameterform

Bilde av linje på parameterform Eksempel

Gitt en linje m på parameterform

m:{x=3+2ty=4+4tz=2+8t

Vi kan regne slik

x = 3+2t    t=x-32y=4+4t    t=y-44z=2+8t    t=z-28

Som gir

x-32=y-44=z-28

 

Vi får ikke en likningsfremstilling bestående av én likning. Vi får i stedet to (tre) likninger som til sammen kan betraktes som en likningsfremstilling for linjen. Det er derfor oftest hensiktsmessig å beskrive linjer i rommet på parameterform.

En likning i rommet som inneholder x, y  og z, vil gi et plan i rommet. Vi skal se på dette senere på siden Plan gitt ved normalvektor og punkt i planet.

Oppgaver

Generelt