Fagstoff

Tredjegradslikninger

Publisert: 17.10.2012, Oppdatert: 14.08.2018

 

AndregradslikningerHusker du hvordan vi løser andregradslikninger? Hvordan løser vi tredjegradslikninger?

En tredjegradslikning er en likning som kan ordnes slik at vi får et tredjegradspolynom på venstre side av likhetstegnet og 0 på høyre side. En generell tredjegradslikning ser da slik ut

ax3+bx2+cx+d=0

På siden Faktorisering av tredjegradspolynomer faktoriserer vi tredjegradspolynomer når vi har et kjent nullpunkt. Da er vi også i stand til å løse tredjegradslikninger med et kjent nullpunkt.

Siden ax3+bx2+cx+d=ax-x1x-x2x-x3 hvor x1, x2 og x3 er nullpunktene til ax3+bx2+cx+d, blir løsningen av likningen

        ax3+bx2+cx+d = 0ax-x1x-x2x-x3=0                          x=x1,  x=x2  eller x=x3

Vi faktoriserte tidligere uttrykket 2x3+7x2+2x+3, og fikk at

2x3-7x2+2x+3=2x-3x+12x-1

Tredjegradslikningen 2x3+7x2+2x+3=0 kan da løses slik

       2x3+7x2+2x+3 = 02x-3x+12x-1=0                         x=3,   x=-12  eller x=1

Vi tar med et eksempel som viser hele framgangsmåten.

Eksempel

Vi skal løse tredjegradslikningen 3x3+2x2=3x+2.

Først ordner vi likningen slik at vi får 0 på høyre side.

         3x3+2x2 = 3x+23x3+2x2-3x-2=0

I mange oppgaver vil vi kunne finne ett av nullpunktene (en av løsningene) ut i fra opplysninger som er gitt i oppgaven. Her må vi ved hjelp av prøving og feiling finne den første løsningen av likningen.

Det er ofte lurt å prøve med x=1 først. Da setter vi x=1 inn i likningen.

 Venstre side: 3·13+2·12-3·1-2=3+2-3-2=0Høyre side: 0

Full klaff med en gang! Vi har dermed vist at x-1 er en faktor i uttrykket 3x3+2x2-3x-2, og vi foretar polynomdivisjonen

3x3-2x2-3x+2):(x-1)=3x2+5x+2 -(3x3-3x2)5x2-3x   -(5x2-5x)2x-2-(2x-2)0

Vi har altså

3x3+2x2-3x-2=x-13x2+5x+2

Vi finner så nullpunktene til 3x2+5x+2

3x2+5x+2 = 0            x=-5±52-4·3·22·3=-5±16            x1=-1    x2=-23

Tredjegradslikningen blir

                3x3+2x2 = 3x+2       3x3+2x2-3x-2=03x-1x+1x+23=0

og har altså løsningene 

x=1,  x=-1  eller x=-23

Vi løser også likninger ved CAS i GeoGebra.

For eksakte løsninger klikker vi på knappen x  =.Likninger i GeoGebra. Utklipp  

For tilnærmede løsninger klikker vi på x  .Løse likning i GeoGebra. Utklipp