Volumberegning

Romfiguren utspent av vektorene $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{q}$ og $\overrightarrow{r}$ kalles et parallellepiped. Sideflatene består av seks parvis kongruente parallellogrammer.  Hvis vinklene mellom vektorene $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{q}$ og $\overrightarrow{r}$ er rette, vil parallellogrammene være rektangler, og vi har da et rettvinklet parallellepiped. Hvis vektorene $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{q}$ og $\overrightarrow{r}$ i tillegg er like lange, har vi en terning.

Volumet av parallellepipedet er grunnflaten multiplisert med høyden.

$V=G·h$

Grunnflaten er her det parallellogrammet som er utspent av vektorene $\overrightarrow{p}$ og $\overrightarrow{q}$. 

Vi har altså at

$G=\left|\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}\right|$

Vi ser av figuren at høyden er

$h=\left|\overrightarrow{r}\right|·\mathrm{cos\alpha }$

Vi får at

$\begin{array}{l}V=G·h\\ V=\left|\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}\right|·\left|\overrightarrow{r}\right|·\mathrm{cos\alpha }\end{array}$

Dette uttrykket kjenner vi igjen som skalarproduktet av vektorene $\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}$ og $\overrightarrow{r}$.
Vi får

$\begin{array}{l}V=G·h\\ V=\left|\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}\right|·\left|\overrightarrow{r}\right|·\mathrm{cos\alpha }\\ V=\left(\overrightarrow{p}\times \overrightarrow{q}\right)·\overrightarrow{r}\end{array}$

Vi setter absoluttverditegn rundt skalarproduktet fordi vi kan få negativt skalarprodukt. Husk at skalarproduktet er et tall.

Det er likegyldig hvilken rekkefølge vi har på vektorene $\overrightarrow{p}$, $\overrightarrow{q}$ og $\overrightarrow{r}$ fordi det er likegyldig hvilken side vi velger som grunnflate.