Fagstoff

Den deriverte til en potensfunksjon

Publisert: 10.10.2012, Oppdatert: 06.08.2018

 

En potensfunksjon er en funksjon som inneholder en potens der den ukjente x er grunntallet i en potens.

Vi vil finne den deriverte funksjonen til fx=x2. Vi bruker definisjonen til den deriverte funksjonen.

f'x = limΔx0ΔyΔx=limΔx0fx+Δx-fxΔx=limΔx0x+Δx2-x2Δx=limΔx0x2+2·x·Δx+Δx2-x2Δx      = limΔx02·x·Δx+Δx2Δx=limΔx0Δx2·x+ΔxΔx=limΔx02x+Δx=2x

Vi har vist at x2'=2x. Tilsvarende kan vi vise at x3'=3x2 og at x4'=4x3.

Ser du mønsteret? Det kan vises at generelt er xn'=nxn-1 uansett hvilket tall n er.

Potensfunksjon: f(x)=xnf'(x)=n·xn-1

Noen eksempler
Eksempel 1 Eksempel 2 Eksempel 3

fx = x2f'x=2x2-1   =2x

fx = x3f'x=3x3-1=3x2

 fx = x5f'x=5x4

Potensfunksjon multiplisert med konstant

Det kan vises at følgende regel gjelder for produktet mellom en konstant og en potensfunksjon.

Potensfunksjon multiplisert med konstant: f(x)=k·xnf'(x)=k·(xn)'=k·n·xn-1

Noen eksempler
Eksempel 1 Eksempel 2

fx = 3·x2f'x=3·x2'       =3·2x      =6x

fx =  3·x4 f'x= 3·4·x4-1=12x3