Fagstoff

Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell

Publisert: 28.08.2012, Oppdatert: 25.09.2018

Når vi skal ta et tilfeldig utvalg fra en mengde med to ulike elementer, får vi en sannsynlighetsfordeling som vi kaller hypergeometrisk.

Eksempel

Røde og blå kuler  Det ligger ni kuler i en boks. Tre av kulene er blå. Resten er røde. Vi skal trekke fem kuler fra boksen tilfeldig.

Hva er sannsynligheten for at vi trekker to blå og tre røde kuler?

Manuell utregning

Vi må her regne med at utvalget fra boksen er uordnet (rekkefølgen betyr ikke noe), og vi har ikke tilbakelegging. Antall mulige måter å trekke 5 kuler fra boksen på, er

95=9!5!·9-5!=93·82·7·63·5·4!1·2·3·4·5·4!=3·2·7·3=63·2=126

Hvor mange gunstige måter finnes det?

Vi skal trekke to blå kuler av i alt tre blå kuler.

Dette kan gjøres på 32=3·21·2=3 forskjellige måter.

Vi skal trekke tre røde kuler av i alt seks røde kuler.

Dette kan gjøres på 6C3=63=6·5·41·2·3=2·2·5=20 forskjellige måter.

Etter produktregelen for kombinasjoner er det da 3·20=60 forskjellige gunstige måter å trekke ut tre røde og to blå kuler på.

Vi definerer hendelsen A.

A: Av de fem uttrukne kulene er to blå og tre røde

Sannsynligheten for A blir

PA=32·6395=3·201260,476

Mange situasjoner fra virkeligheten tilsvarer i prinsippet denne situasjonen med kuler.

En skoleklasse består av noen jenter og noen gutter. Når vi fra klassen skal trekke et utvalg på et bestemt antall elever, har vi en typisk hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling. Vi kan da regne som i eksemplet ovenfor og beregne sannsynligheter for fordeling av gutter og jenter i utvalget.

I Eksamensveiledningen fra Utdanningsdirektoratet finner du en oversikt over "Formler som forutsettes kjent ved Del 1 av eksamen" for de ulike fagene. For faget S1 står det at dersom hypergeometrisk fordeling inngår i Del 1 av eksamen, vil aktuell formel bli oppgitt som vist nedenfor.

 

Hypergeometrisk fordeling

 

PX=k=mkn-mr-knr

 

Denne formelen står heller ikke på lista over formler som forventes kjent på del 1 i R1.

Formelen kan forstås på følgende måte, brukt på eksempelet over:

Vi har en mengde med n elementer (9 kuler i en boks). m av disse elementene er av én type (3 av kulene er blå), og nm av elementene er av en annen type (9-3=6, kuler er røde).

Vi skal trekke r elementer tilfeldig. (Vi trekker 5 kuler tilfeldig.)

La X være antall av de uttrukne kuler som skal være blå (vi kunne også gjort motsatt). Vi skal ha 2 blå kuler, som betyr at k=2. Vi kan da finne sannsynligheten for at X= 2 slik

PX=2=mk·n-mr-knr=32·9-35-295=32·6395=0,476

Formelen er altså en generell oppskrift som alltid kan brukes når vi har hypergeometriske sannsynlighetsfordelinger.

Utregning med digitale hjelpemidler

Hypergeometrisk fordeling i GeoGebraVi finner også nå at i eksemplet ovenfor, så er sannsynligheten for at X=2 lik 0,476.Du kan velge «Hypergeometrisk fordeling» i sannsynlighetskalkulatoren til GeoGebra.
Her kalles samlet antall elementer for «populasjon». Det svarer til n i formelen fra Udir.
Antall elementer av «en spesiell type» kalles i sannsynlighetskalkulatoren for n. OBS! Det svarer til m i formelen fra Udir.

Antall elementer som trekkes ut kalles for «utvalg». Det svarer til r i formelen fra Udir.
Bokstaven X betegner også her antall elementer i utvalget som er av «en spesiell type».

Vi kan også tenke på denne måten dersom vi skal ta et utvalg fra en mengde som inneholder mer enn to ulike typer elementer.

Eksempel

Elevrådet ved en skole består av åtte elever fra Vg1, seks elever fra Vg2 og to elever fra Vg3. Seks elever fra elevrådet skal være med å arrangere OD-dagen. De seks elevene velges ut tilfeldig.

Finn sannsynligheten for at to elever fra hvert klassetrinn blir valgt ut.

Antall uordnede utvalg uten tilbakelegging på 2 av de 8 fra Vg1:  82

Antall uordnede utvalg uten tilbakelegging på 2 av de 6 fra Vg2:  62

Antall uordnede utvalg uten tilbakelegging på 2 av de 2 fra Vg3:  22

Den siste vet vi med en gang må være 1 siden det bare er ett mulig utvalg når begge tredjeklassingene skal være med.

Antall uordnede utvalg uten tilbakelegging på 6 av de totalt 16 elevene:  166

Da kan vi sette opp uttrykket for sannsynligheten det spørres etter.

P(2 elever fra hvert klassetrinn blir valgt ut) = 82·62·22166=28·15·180080,052

Legg merke til at 8+6+2=16 og 2+2+2=6.

Du vil alltid kunne summere på denne måten dersom du har satt opp uttrykket på rett måte!

Du kan alltid tenke på denne måten når du arbeider med oppgaver der et utvalg skal trekkes fra en mengde hvor elementene kan deles inn i grupper etter visse kriterier. Hjerte  

Vi avslutter med et eksempel hentet fra en eksamensoppgave. Som du ser, kan vi nå finne sannsynligheten for at bare én av to kjærester får være med på tur!

Eksempel

I klassen til Kåre, Janne og Ane er det 15 jenter og 10 gutter. Klassen har vunnet en tur til Hellas for 6 elever. De elevene trekkes ut ved loddtrekning.

1) Finn sannsynligheten for at Ane får være med på turen.
2) Finn sannsynligheten for at akkurat 3 jenter og 3 gutter får være med på turen.

Kåre og Janne er kjærester.

3) Finn sannsynligheten for at bare én av dem får være med på turen.

(Eksamen 2T, Høsten 2009)

Løsning

1) Her deler vi elevene inn i Ane og resten. Vi skal altså trekke 1 Ane og 5 av de andre elevene.  

PAne får være med  turen=11·245256=0,24

Her kunne vi også funnet svaret ved å tenke «gunstige delt på mulige».

PAne får være med  turen=gm=625=0,24

2) Her deler vi elevene inn i gutter og jenter, og vi skal ha tre av hver.

P3 jenter og 3 gutter får være med=153·103256=782530,308

3) Her deler vi elevene inn i kjærester og ikke-kjærester. Vi skal ha én kjæreste og fem ikke-kjærester.

PBare en av de to kjærestene får være med=21·235256=1950=0,38

Relatert innhold