Binomialkoeffisienter

I oppgaven på forrige side i menyen så du at vi kan trekke ut to kuler fra en hatt med fire kuler på seks ulike måter.

Elin har fire armbånd i en skuff. En dag vil hun gå med to av disse armbåndene. Hvor mange kombinasjonsmuligheter har hun?

En fotballtrener disponerer fire spisser. Han skal bruke to i en kamp. På hvor mange måter kan han komponere spissparet?

Ser du at tenkemåten blir den samme her?

Vi kan trekke to kuler fra fire kuler, to armbånd fra fire armbånd eller to spisser fra fire spisser på seks ulike måter.

I Pascals trekant kan du følge «blå skråkurve» fra toppen og telle deg ned til tallet fire. I denne raden starter du fra venstre og teller ruter fra null og inn til to. Du havner da i den ruten som er markert med rødt og finner tallet seks.

En volleyballtrener har ni spillere i troppen og skal ta ut et lag påseks spillere. Hvor mange ulike lag kan han sette sammen?

I Pascals talltrekant følger vi «blå skråkurve» fra toppen og teller oss ned til tallet ni.
I denne raden starter vi fra venstre, teller ruter fra null og inn til seks, og havner i den ruten som er markert med rødt.
Det betyr at det er 84 mulige måter å sette sammen volleyballaget på.

Vi kan trekke to elementer fra en mengde på fire elementer på seks ulike måter.

Dette kan vi skrive slik

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=6$

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)$ leser du som «4 over 2».

På samme måte er

$\left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right)=84$

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right) \mathrm{og} \left(\begin{array}{c}9\\ 6\end{array}\right)$ kalles binomialkoeffisienter.

$\left(\begin{array}{c}n\\ r\end{array}\right)$er binomialkoeffisienten av n og r og leses som « n over r ».

En annen skrivemåte er $\mathrm{nCr}$. $C$ står her for kombinasjoner (engelsk combinations).

Tallet n står for antallet elementer totalt, og tallet r står for antallet elementer i utvalget.
I Pascals trekant står n for radnummer når første rad har nummer null, og r står for nummer på ruten i raden når man starter fra venstre og teller ruter fra null og innover.

Dersom vi bruker binomialkoeffisienter, kan vi fylle ut radene i Pascals trekant på denne måten

Vi trenger ikke tegne Pascals talltrekant for å finne antall kombinasjonsmuligheter. Tallene i Pascals trekant er innebygget i de fleste digitale verktøy.

I GeoGebra er kommandoen $\mathrm{nCr}[<\mathrm{Tall}>,<\mathrm{Tall}>]$ hvor det første taliet er n  og det andre tallet er r.

Senere i dette kapittelet skal du også lære hvordan du kan regne ut binomialkoeffisientene uten å bruke digitale verktøy.

Hvor mange ulike lottorekker finnes det?