Fagstoff

Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje

Publisert: 02.07.2012, Oppdatert: 10.10.2017

Vi tegner grafen til funksjonen $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ i GeoGebra og finner nullpunktene med kommandoen «Nullpunkt[f]».

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt, og vi finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har bunnpunkt $(2, - 1)$ .

I koordinatsystemet har vi tegnet inn symmetrilinjen til $f$ , linjen $x = 2$ .

Vi ser at bunnpunktet ligger på symmetrilinjen. Symmetrilinjen ligger også like langt fra hvert av parabelens nullpunkter.

Vi har sett at vi kan finne parabelens nullpunkter ved å løse likningen $f (x) = 0$ .

$\begin{array}{rcl} x^{2} - 4 x + 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \\ x & = & \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \\ x & = & \frac{4 \pm 2}{2} \\ x & = & 2 \pm 1 \end{array}$

Hvis vi stopper der, ser vi at $x = 2 \pm 1$ .

De to nullpunktene ligger like langt fra parabelens symmetrilinje!

Det betyr at de to nullpunktene ligger like langt fra linjen $x = 2$ , og denne linjen er altså parabelens symmetrilinje!

Generelt er nullpunktene gitt ved

$\begin{array}{rcl} x & = & \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ = & \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \end{array}$

Det betyr at vi kan finne symmetrilinjen og x-koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved å «fjerne» kvadratroten i uttrykket vi får når vi setter $f (x) = 0$ .

Gitt andregradsfunksjonen

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Vi finner nullpunktene ved å løse likningen $f (x) = 0$ . Det gir

$x_{Nullpunkt} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Vi finner symmetrilinjen og x - koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved

$x_{Symmetrilinje} = \frac{- b}{2 a}$

Det betyr at vi kan finne mye informasjon om grafen til en andregradsfunksjon ved enkel regning uten å bruke digitale hjelpemidler.

Eksempel. To nullpunkter

Gitt funksjonen $g (x) = - x^{2} + 3 x + 4$ . Finn nullpunktene til funksjonen.

$\begin{array}{rcl} g (x) & = & 0 \\ - x^{2} + 3 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 4}}{2 \cdot (- 1)} \\ x & = & \frac{- 3 \pm \sqrt{25}}{- 2} \\ x & = & - 1 \lor x = 4 \end{array}$

Nullpunktene er $x = - 1$ og $x = 4$ .

Symmetrilinjen er

$x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 3)}{2 \cdot (- 1)} = \frac{3}{2} = 1, 5$

Vi ser at dette er x-verdien midt mellom -1 og 4.
Grafen har et toppunkt siden andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatene

$(1.5, g (1.5)) = (1.5, (- 1 . 5^{2} + 3 \cdot 1.5 + 4)) = (1.5, (- 2.25 + 4.5 + 4)) = (1.5, 6.25)$

Eksempel. Ett nullpunkt

Gitt funksjonen $h (x) = x^{2} - 4 x + 4$ .

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

$\begin{array}{rcl} h (x) & = & 0 \\ x^{2} - 4 x + 4 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2} \\ x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{0}}{2} = 2 \end{array}$

Nullpunktet er $x = 2$ .

Vi får bare ett nullpunkt siden uttrykket under kvadratroten blir lik null.

Symmetrilinjen er gitt ved

$x = \frac{- b}{2 a} = \frac{- (- 4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt. Nullpunktet faller sammen med bunnpunktet og ligger på symmetrilinjen.

Vi vet at $h (2) = 0$ . Bunnpunktet har koordinatene $(2, h (2)) = (2, 0)$

Eksempel. Ingen nullpunkter

Gitt funksjonen $k (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

$\begin{array}{rcl} k (x) & = & 0 \\ x^{2} - 4 x + 5 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2} \\ x & = & \frac{- (- 4) \pm \sqrt{- 4}}{2} \end{array}$

Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen løsning. Det betyr at funksjonen ikke har nullpunkter og grafen til funksjonen krysser aldri x-aksen.

Siden konstantleddet $c = 5$ , vet vi at grafen skjærer y-aksen i punktet $(0, 5)$ . Dette punktet ligger over x-aksen. Grafen ligger da over x-aksen for alle verdier av $x$ .