Fagstoff

Nullpunkter, toppunkter, bunnpunkter og symmetrilinje

Publisert: 02.07.2012, Oppdatert: 10.10.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Graf

Vi tegner grafen til funksjonen fx=x2-4x+3 i GeoGebra og finner nullpunktene med kommandoen «Nullpunkt[f]».

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt, og vi finner bunnpunktet med kommandoen «Ekstremalpunkt[f]». Grafen har bunnpunkt 2, -1.

I koordinatsystemet har vi tegnet inn symmetrilinjen til f, linjen x=2.

Vi ser at bunnpunktet ligger på symmetrilinjen. Symmetrilinjen ligger også like langt fra hvert av parabelens nullpunkter.

Vi har sett at vi kan finne parabelens nullpunkter ved å løse likningen   fx=0.

x2-4x+3 = 0x=--4±-42-4·1·32·1x=4±16-122x=4±22x=2±1

Hvis vi stopper der, ser vi at x=2±1.

 

De to nullpunktene ligger like langt fra parabelens symmetrilinje!

 

Det betyr at de to nullpunktene ligger like langt fra linjen x=2, og denne linjen er altså parabelens symmetrilinje!

Generelt er nullpunktene gitt ved

x = -b±b2-4ac2a=-b2a±b2-4ac2a

Det betyr at vi kan finne symmetrilinjen og x-koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved å «fjerne» kvadratroten i uttrykket vi får når vi setter f(x)=0 .

 

Gitt andregradsfunksjonen

 

fx=ax2+bx+c

 

Vi finner nullpunktene ved å løse likningen f(x)=0 . Det gir

 

xNullpunkt=-b±b2-4ac2a

 

Vi finner symmetrilinjen og x - koordinaten til topp- eller bunnpunktet ved

 

xSymmetrilinje=-b2a

 

Det betyr at vi kan finne mye informasjon om grafen til en andregradsfunksjon ved enkel regning uten å bruke digitale hjelpemidler.

 

Graf Eksempel. To nullpunkter

Gitt funksjonen gx=-x2+3x+4. Finn nullpunktene til funksjonen.

gx = 0-x2+3x+4=0x=-3±32-4·-1·42·-1x=-3±25-2x=-1      x=4

Nullpunktene er x=-1 og x=4.

Symmetrilinjen er

x=-b2a=--32·-1=32=1,5

Vi ser at dette er x-verdien midt mellom -1 og 4.
Grafen har et toppunkt siden andregradsleddet er negativt.
Toppunktet har koordinatene

1.5, g(1.5)=1.5, -1.52+3·1.5+4=1.5, (-2.25+4.5+4)=1.5, 6.25 

Eksempel. Ett nullpunkt

Gitt funksjonen hx=x2-4x+4.

Graf Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

hx = 0x2-4x+4=0x=--4±-42-4·1·42x=--4±02=2

Nullpunktet er x=2. 

Vi får bare ett nullpunkt siden uttrykket under kvadratroten blir lik null.

Symmetrilinjen  er gitt ved

x=-b2a=--42·1=42=2

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt. Nullpunktet faller sammen med bunnpunktet og ligger på symmetrilinjen.

Vi vet at h(2)=0. Bunnpunktet har koordinatene 2, h2=2, 0

Eksempel. Ingen nullpunkterGraf

Gitt funksjonen kx=x2-4x+5.

Finn eventuelle nullpunkter til funksjonen.

kx = 0x2-4x+5=0x=--4±-42-4·1·52x=--4±-42

Vi får et negativt tall under rottegnet. Likningen har ingen løsning. Det betyr at funksjonen ikke har nullpunkter og grafen til funksjonen krysser aldri x-aksen. 

Siden konstantleddet c=5, vet vi at grafen skjærer y-aksen i punktet 0, 5. Dette punktet ligger over x-aksen. Grafen ligger da over x-aksen for alle verdier av x.

Vi finner symmetrilinjen ved

x=-b2a=--42=42=2

Grafen har et bunnpunkt siden andregradsleddet er positivt.
Bunnpunktet har koordinatene 2, k2=2, 22-4·2+5=2, 1