Beregne sannsynligheter ved å bruke valgtre

Tenk deg en prøve i matematikk med to oppgaver.

På hver av oppgavene skal du krysse av i én av fire ruter for rett svar.

Du er ikke forberedt, og alle svaralternativene virker like sannsynlige, så du bare gjetter.

Hva er sjansene for å få null rette svar, ett rett svar eller to rette svar?

Vi definerer hendelsene

$$R$$: Rett svar på ett spørsmål

$$G$$: Galt svar på ett spørsmål

Sannsynligheten for rett svar på én oppgave blir $$P\left(R\right)=\frac{1}{4}=0,25$$

Sannsynligheten for galt svar på én oppgave blir $$P\left(G\right)=\frac{3}{4}=0,75$$

Sannsynligheten for å få to rette svar blir $$P\left(R\cap R\right)=\frac{1}{4}·\frac{1}{4}=\frac{1}{16}$$

Sannsynligheten for å få null rette svar blir $$P\left(G\cap G\right)=\frac{3}{4}·\frac{3}{4}=\frac{9}{16}$$

Men det er to muligheter for å få ett rett svar, først rett svar og så galt svar, eller, først galt svar og så rett svar.

$$\begin{array}{l}P\left(\mathrm{Ett} \mathrm{riktig} \mathrm{svar}\right)=P\left(R\cap G\right)+\begin{array}{l}P\left(G\cap R\right)=\frac{1}{4}·\frac{3}{4}+\frac{3}{4}·\frac{1}{4}=\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\end{array}\end{array}$$

Husk at vi kan legge sammen sannsynlighetene for to ulike hendelser hvis hendelsene ikke har felles utfall!

Det er veldig nyttig å bruke valgtre for å få oversikt over slike situasjoner.

$$P\left(\mathrm{Ett} \mathrm{rett} \mathrm{svar}\right)=P\left(R\cap G\right)+P\left(G\cap R\right)=\frac{1}{4}·\frac{3}{4}+\frac{3}{4}·\frac{1}{4}=\frac{3}{16}+\frac{3}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$

I en klasse på $$30$$ elever er det $$50 \%$$ jenter. $$70 \%$$ av jentene liker matematikk, mens $$60 \%$$ av guttene liker matematikk.

Finn sannsynligheten for at en elev ikke liker matematikk.

Vi kan bruker valgtre for å få oversikt over situasjonen.

Vi trekker en tilfeldig elev fra klassen.

Sannsynligheten for at eleven ikke liker matematikk er lik sannsynligheten for at eleven er en gutt som ikke liker matematikk pluss sannsynligheten for at eleven er en jente som ikke liker matematikk.

Vi definerer hendelsene

$$A$$: Eleven vi trekker er en jente som ikke liker matematikk

$$B$$ : Eleven vi trekker er en gutt som ikke liker matematikk

Vi kan da skrive

$$\begin{array}{rcl}P\left(\mathrm{Eleven} \mathrm{liker} \mathrm{ikke} \mathrm{matematikk}\right)& = & P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\\ & & \\ & =& 0,50·0,30+0,50·0,40=0,15+0,20=0,35\end{array}$$

Det er altså $$35 \%$$ av elevene som ikke liker matematikk.