Addisjon og subtraksjon av brøkar

Når vi til dømes legg saman 3 meter, 2 meter og 4 meter, verdiar med same nemning, treng vi ikkje å gjere noko spesielt før vi legg saman. Vi får enkelt og greitt 9 meter som svar:

$3 \mathrm{m}+2 \mathrm{m}+4 \mathrm{m}=9 \mathrm{m}$

På same måte kan vi trekkje saman 4 tredelar, 1 tredel og 2 tredelar direkte til 7 tredelar:

$\frac{4}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{7}{3}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Bernd Vogel

Utviding av brøkar

Dersom vi skal leggje saman $3 \mathrm{cm}+2 \mathrm{m}+4 \mathrm{dm},$ må vi først finne ei felles nemning. Deretter kan vi leggje saman.

Vi må tenkje på same måte når vi legg saman 3 halve + 2 tredelar + 1 femdel. Vi må først finne ein felles nemnar (eller nemning).

Kva må vi gjere for å rekne ut $\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{5}$?

Vi vel å la samnemnaren for 2, 3 og 5 vere det minste talet som desse tala går opp i, altså
$2·3·5=30$.

Kvar av brøkane skal altså skrivast med nemnaren 30, men framleis ha same verdi.

Ein brøk endrar ikkje verdi når vi multipliserer med same tal i teljar og nemnar.

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Det kan vi illustrere ved å sjå på arealet av ein sirkel.

Vi ser av figuren at halvparten av arealet til sirkelen er lik summen av 2 firedelar , $\frac{1}{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$. Sidan $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}$, får vi at $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$.

Det er nettopp det vi får når vi multipliserer brøken $\frac{1}{2}$ med 2 i teljar og nemnar.

$\frac{1}{2}=\frac{1·2}{2·2}=\frac{2}{4}$

Vi kallar denne handlinga å utvide ein brøk.

I daglegtale er å utvide det same som "å gjere større", men i brøkrekning har ordet utvide altså ei anna tyding. Eigentleg burde vi heller ha funne eit uttrykk som tilsvarer det engelske. På engelsk bruker ein «rename». Brøken får eit anna namn, men han er like mye verd.

Vi utvidar brøkane

$\begin{array}{rcl}\frac{3}{2}& = & \frac{3·15}{2·15}=\frac{45}{30}\\ & & \\ \frac{2}{3}& =& \frac{2·10}{3·10}=\frac{20}{30}\\ & & \\ \frac{1}{5}& =& \frac{1·6}{5·6}=\frac{6}{30}\end{array}$

Til slutt legg vi saman og får

$\frac{3}{2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{5}=\frac{45}{30}+\frac{20}{30}+\frac{6}{30}=\frac{45+20+6}{30}=\frac{71}{30}$

Ein brøk der teljaren er større enn nemnaren, kallar vi ein uekte brøk. Ein uekte brøk kan gjerast om til eit blanda tal.

Vi får at

$\frac{71}{30}=\frac{60}{30}+\frac{11}{30}=2+\frac{11}{30}=2\frac{11}{30}$ som betyr $2+\frac{11}{30}$

Det er viktig at du ikkje mekaniserer brøkrekninga di. Kanskje du tidlegare har gjort om det blanda talet $2\frac{11}{30}$ til uekte brøk utan å vere medviten om at eit blanda tal er eit heilt tal pluss ein brøk.

Forkorting av brøkar

Vi har at $\frac{6}{30}=\frac{6:6}{30:6}=\frac{1}{5}$.

Vi kan også dividere med same tal i teljar og nemnar utan at brøken endrar verdi. Vi kallar denne handlinga å forkorte ein brøk.

I daglegtale er å forkorte det same som "å gjere kortare eller mindre", men i brøkrekning har ordet forkorte ei anna betydning. Her kunne vi òg med fordel ha funne eit uttrykk som tilsvarer det engelske «simplify». Vi forenklar brøken, men han er like mye verd.