Gjennomsnittleg vekstfart, løysingsforslag

Oppgåve 1

Silje har ei solsikke. Silje måler solsikka kvar veke i 8 veker. Ho finn at veksten til solsikka tilnærma følgjer grafen nedanfor.

a) Finn vekstfarten til solsikka per veke.
Solsikka har vakse 160 cm i løpet av dei 8 vekene.

Vekstfarten per veke blir dermed:

b) Kva fortel vekstfarten?

Vekstfarten viser gjennomsnittleg vekst i veka i cm for solsikka.

c) Finn eit funksjonsuttrykk som beskriv veksten til solsikka etter x veker.

Stigingstalet (vekstfarten) per veke er 20. Konstantleddet er 0.

Funksjonsuttrykket blir da S(x) = 20x

Oppgåve 2

Ein ball blir sparka rett opp i lufta. Grafen nedanfor viser høgda til ballen over bakken etter t sekund.

a) Finn gjennomsnittleg vekstfart mellom 1 og 2 sekund.

Av grafen ser vi at ballen stig frå 20 m til 30 m mellom 1 og 2 sekund.

Gjennomsnittleg vekstfart blir:Gjennomsnittleg vekstfart mellom 1 og 2 sekund blir 10 m/s.

b) Kva fortel vekstfarten?

Vekstfarten fortel gjennomsnittleg fart for ballen i eit bestemt tidsintervall.

c) Finn gjennomsnittleg vekstfart mellom 0 og 2 sekund.

Gjennomsnittleg vekstfart mellom 0 og 2 sekund:

Gjennomsnittleg vekstfart mellom 0 og 2 sekund blir 15 m/s.

d) Forklar kvifor svara i a) og c) blir ulike.

Farten til ballen minkar når ballen nærmar seg toppunktet og aukar så igjen når ballen nærmar seg bakken.

 

Oppgåve 3

Forskarar har undersøkt vekstutviklinga til tre i eit bestemt skogområde. Det viser seg at høgda av eit tre, h(t), målt i meter, tilnærma kan beskrivast med ein matematisk modell. Dei første åtte åra gjeld funksjonen

der t er talet på år etter utplantinga.

a) Teikn grafen av h.

b) Kva er den gjennomsnittlege vekstfarten frå år 1 til år 4?

Finn grafisk at treet veks (2,0 – 1,1 = 0,9) meter frå år 1 til år 4.

Den gjennomsnittlege vekstfarten per år blir

Den gjennomsnittlige vekstfarten til treet frå år 1 til år 4 er 30 centimeter.

c) Kva er den gjennomsnittlege vekstfarten frå år 3 til år 4?

I oppgåve b) fann vi løysinga grafisk. I denne oppgåva viser vi korleis vi kan finne løysinga ved rekning.

Gjennomsnittleg vekstfart frå år 3 til år 4 blir

Den gjennomsnittlege vekstfarten til treet frå år 3 til år 4 er 14 centimeter.

d) Forklar kvifor du får ulike svar.

Veksten til treet er ikkje den same i heile perioden frå år 1 til år 4. Veksten til treet er større i starten enn mellom år 3 og år 4.

 

Oppgåve 4

Ein ball blir sparka rett opp i lufta. Grafen nedanfor viser kor høgt ballen er over bakken etter x sekund.
Teikn denne grafen, til dømes i GeoGebra, ved å skrive inn funksjonsuttrykket

a) Finn momentan vekstfart etter 1 sekund.

Teiknar tangenten til grafen for x = 1.

I GeoGebra kan du bruke tangentverktøyet. Merk av punktet på grafen der tangenten skal visast. vel så verktøyet "Tangentar", sjå bildet nedanfor.

Tangenten blir no teikna. På figuren nedanfor har vi også teikna inn stiginga til tangenten.

Stigingstalet for denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 1 sekund.
Den momentane vekstfarten er 12 ved 1 sekund.

b) Finn momentan vekstfart etter 3 sekund.

Stigingstalet til denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 3 sekund.
Den momentane vekstfarten er −4 ved 3 sekund.

c) Finn momentan vekstfart etter 4 sekund.

Stigingstalet til denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 4 sekund.
Den momentane vekstfarten er −12 ved 4 sekund.

d) Finn momentan vekstfart etter 2,5 sekund.

Stigingstalet til denne tangenten er den momentane vekstfarten ved x = 2,5 sekund.
Den momentane vekstfarten er 0 ved 2,5 sekund.