Lineær matematisk modell løysingforslag
Oppgåve 1
Tabellen nedanfor viser folkemengda i Noreg for nokre utvalte år i perioden frå 1950 til 2000.
| År | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 | 1990 | 2000 |
| Folkemengde | 3 249 954 | 3 567 707 | 3 683 221 | 4 078 900 | 4 233 116 | 4 478 497 |
a) Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon f som beskriv samanhengen mellom år og folkemengd ved å bruke eit digitalt hjelpemiddel. La x vere talet på år etter 1950 og f(x) folkemengda i millionar.
Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen f kan beskrivast med uttrykket
f(x) = 0,024x + 3,315
b) Kor mye aukar folkemengda med per år ut frå uttrykket du fann a)?
Av funksjonsuttrykket ser vi at stigingstalet er 0,024. Auken i folkemengd per år er 0,024 millionar, altså 24 000 individ.
c) Dersom denne utviklinga held fram, kva vil folkemengda i Noreg vere i år 2050?
Variabelen x er talet på år etter 1950. Vi set da x lik 100 i funksjonen vi fann ovanfor og finn folkemengda i Noreg i år 2050.
Folkemengda i Norge vil vere 5 715 000 i år 2050 etter denne modellen.
Oppgåve 2
Tabellen nedanfor viser folkemengda i Mandal for nokre utvalte år i perioden 1990 til 2006.
| År | 1990 | 1995 | 1998 | 2002 | 2006 |
| Folkemengde | 12 465 | 12 910 | 13 181 | 13 417 | 14 069 |
a) Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon f som beskriv samanhengen mellom år og folkemengd ved å bruke eit digitalt hjelpemiddel. La x vere talet på år etter 1990 og f(x) folkemengda i tusen.
Bruker lineær regresjon i GeoGebra og finn at funksjonen f kan beskrivast med uttrykket 
.
b) Kva blir folkemengda i Mandal etter denne modellen i år 2050?
Da vi laga modellen satte vi x = 0 i år 1990. I år 2050 er da x lik 60 og vi får.
Folkemengda i Mandal i år 2050 vil vere 18~100 etter denne modellen.
c) Når vil folkemengda i Mandal passere 20 000 etter denne modellen?
Folkemengda vil etter denne modellen passere 20 000 når x = 80, dvs. 80 år etter 1990 altså i år 2070.
Oppgåve 3
Tabellen nedanfor viser utslepp av svoveldioksid til luft i Noreg for nokre utvalte år frå 1973 til 2000.
| År | 1973 | 1980 | 1987 | 1992 | 1996 | 2000 |
Utslepp SO2 til luft i 1000 tonn | 156,4 | 136,4 | 73,1 | 37,0 | 33,1 | 27,3 |
a) Plott punkta i eit koordinatsystem og finn eit tilnærma lineært uttrykk for ein funksjon S som beskriv samanhengen mellom år og utslepp.
La x vere talet på år etter 1973 og S(x) utsleppet av svoveldioksid i tusen tonn.
.b) Når var utsleppet av svoveldioksid 100 tusen tonn?
Finn grafisk at utsleppet av SO2 er 100 tusen tonn omtrent 11 år etter 1973, dvs. i 1984.
c) Kva vil utsleppet vere i år 2010 dersom vi følgjer denne modellen? Kommenter svaret.
Utslepp i år 2010 vil vere
tusen tonn.Utsleppet kan ikkje vere negativt. Modellen ovanfor kan ikkje brukast til å vurdere utslepp i lang tid framover. Når vi ser på punkta og grafen ovanfor, ser vi at modellen passar bra fram til 1996. Etter det blir ikkje utsleppa lenger så mye mindre for kvart år. Ein lineær modell passar dårleg etter 1996.
Tilrå