Døme 3. Drøfting av polynomfunksjonar

Løysing
Vi deriverer f(x)

Sett så

Vi får berre ei løysing. Dei to løysingane er samanfallande.

Stikkprøver gir:

Vi kan da setje opp forteiknslinja for
Denne forteiknslinja er spesiell sidan den deriverte ikkje skiftar forteikn i nullpunktet. Den deriverte er positiv for alle x-verdiar ulike 2. Det tyder at funksjonen veks overalt så nær som når x er lik 2. Grafen har verken topp- eller botnpunkt for x = 2.

Men sidan den deriverte er lik null er tangenten til grafen horisontal for x = 2. Eit slikt punkt på grafen kallar vi eit terrassepunkt.
Stasjonære punkt
Eit stasjonært punkt på ein graf er karakterisert ved at den deriverte er null i punktet. I slike punkt er det inga endring i veksten til funksjonen. Dersom den deriverte skiftar forteikn, er det stasjonære punktet eit topp- eller botnpunkt. Dersom den deriverte ikkje skiftar forteikn, er det stasjonære punktet eit terrassepunkt.

Ekstremalpunkt
Toppunkt og botnpunkt høyrer også til ei gruppe punkt som vi kallar ekstremalpunkt, det vil seie punkt som har maksimal- eller minimalverdiar. Andrekoordinaten til eit toppunkt er ein maksimalverdi til funksjonen og andrekoordinaten til eit botnpunkt er ein minimalverdi. Nokre funksjonar kan ha både topp- og botnpunkt. Derfor er maksimal- og minimalverdiane ofte berre lokale maksimal- og minimalverdiar. Det vil seie at dei er maksimal- og minimalverdiar i eit intervall omkring ekstremalpunktet.