Sinus og cosinus til vinklar

Vi ser på dei formlike trekantane, $△ABC$ og $△DBE$ slik som i artikkelen der vi ser på tangens.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

På grunn av formlikskap får vi at $\frac{AC}{BC}=\frac{DE}{BE}$

Forholdet mellom motståande katet til $\angle B$ og hypotenusen blir også ein konstant storleik.

Dette konstante forholdet identifiserer også $\angle B$ eintydig, og vi gir derfor også dette forholdstalet eit namn. Vi kallar det sinusverdien til $\angle B$.

På grunn av formlikskap får vi også at at $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BE}$

Forholdet mellom hosliggjande katet til $\angle B$ og hypotenusen blir også ein konstant storleik.

Dette konstante forholdet identifiserer også $\angle B$ eintydig, og vi gir derfor også dette forholdstalet eit namn. Vi kallar det cosinusverdien til $\angle B$.

I ein rettvinkla trekant med ein spiss vinkel $v$ er

$\sin v=\frac{\mathrm{motståande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenus}}=\frac{b}{a}$

$\cos v=\frac{\mathrm{hosliggjande} \mathrm{katet}}{\mathrm{hypotenusen}}=\frac{c}{a}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi skal finne dei ukjende sidene i den rettvinkla trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, $\angle B=28°$og hypotenusen er 15,6.

Løysing

Vi har oppgitt hypotenusen og den eine vinkelen. Då kan vi finne den motståande kateten til vinkelen med sinus og den hosliggjande kateten med cosinus.

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \frac{AC}{BC}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{AC}{AB}\end{array}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(28°\right)=\frac{\mathrm{AC}}{15.6}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AC}=7.3\}\end{array}}\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(28°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{15.6}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AB}=13.8\}\end{array}}$

Vi skal finne dei ukjende sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, $\angle B=22°$og sida AC er 5,3.

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Løysing

Vi har oppgitt den eine spisse vinkelen og den motståande kateten til vinkelen. Då kan vi finne hypotenusen med sinus og den hosliggjande kateten med tangens.

$\begin{array}{rcl}\sin B& = & \frac{AC}{BC}\\ & & \\ \tan B& =& \frac{AC}{AB}\end{array}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \sin \left(22°\right)=\frac{5.2}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{BC}=13.9\}\end{array}}\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(22°\right)=\frac{5.2}{\mathrm{AB}}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøs}: \{\mathrm{AB}=12.9\}\end{array}}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi skal finne dei ukjende sidene i trekanten ABC der A er hjørnet med den rette vinkelen, $\angle C=58°$ og sida AC er 17,3.

Løysing

Vi har oppgitt den eine spisse vinkelen og den hosliggjande kateten til vinkelen. Då kan vi finne hypotenusen med cosinus og den motståande kateten med tangens.

$\begin{array}{rcl}\cos C& = & \frac{AC}{BC}\\ & & \\ \tan C& =& \frac{AB}{AC}\end{array}$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(58°\right)=\frac{17.3}{\mathrm{BC}}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{BC}=32.6\}\end{array}}\boxed{\begin{array}{rcl}& & \tan \left(58°\right)=\frac{\mathrm{AB}}{17.3}\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{AB}=27.7\}\end{array}}$

Opne bilete i eit nytt vindauge

CC BY-NC-SA

Bilete: Olav Kristensen, Stein Aanensen

Vi skal finne den ukjende vinkelen v og sida c i trekanten ABC der vinkel A er 90 grader, sida AC er 17,3 og sida BC er 34,2.

Løysing

I høve til den vinkelen vi skal finne, har vi oppgjeve den hosliggjande kateten, og vi har oppgjeve hypotenusen. Då kan vi bruke cosinus, som gir oss

$\cos v=\frac{AC}{BC}=\frac{17.3}{34.2}$

Vi kan løyse dette som ei likning, eller vi kan bruke den "inverse" eller "motsette" cosinusfunksjonen. I GeoGebra har denne funksjonen namnet "acosd" når vi skal ha vinkelen i grader.

Alternativ 1. Løysing ved å løyse likning

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \cos \left(\mathrm{v}°\right)=\frac{17.3}{34.2}\\ \overline{)1}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{v}=-59.6, \mathrm{v}=59.6\}\end{array}}$

Vi må sjå bort frå den negative løysinga.

Alternativ 2. Løysing med invers cosinus

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & \mathrm{acos}\left(\frac{17.3}{34.2}\right)\\ \overline{)1}& & \\ & & \approx 59.6°\end{array}}$

No som vi kjenner ein vinkel, kan vi bruke ein trigonometrisk funksjon til å finne den ukjende sida $c=AB$. Men det går like greitt å bruke Pytagoras si læresetning, og då bruker vi berre tal som er oppgjeve i oppgåva.

$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\boxed{\begin{array}{rcl}& & {\mathrm{c}}^2+17.3^2=34.2^2\\ \overline{)2}& & \\ & & \mathrm{NLøys}: \{\mathrm{c}=-29.5, \mathrm{c}=29.5\}\end{array}}$

Vi får altså at

$v=59,6° \mathrm{og} c=AB=29,5$