Gjennomsnittleg vekstfart og tilnærma verdiar for momentan vekstfart

Vi har ofte å gjere med funksjonar som ikkje er lineære. Her vil vekstfarten variere frå stad til stad på kurva. Di brattare kurva er, di større er vekstfarten. Vi kan finne den gjennomsnittlege vekstfarten over eit intervall [x₁, x₂] på følgjande måte:

 

Vi trekkjer ei linje (ein sekant) gjennom punkta (x₁, f(x₁)) og (x₂, f(x₂)). Vi reknar ut stigingstalet for denne linja:

Vi har da funne eit mål for gjennomsnittleg vekstfart frå x₁ til x₂.

Oppsummering

Døme 1

  Da Niels Henrik var 13 år, hadde han ei høgd på 149 cm. Fire år seinare var høgda hans 181 cm. Vi kan la x vere alderen til Niels Henrik og y vere høgda. Vi får at den gjennomsnittlege vekstfarten til Nils Henrik i fireårsperioden blir

Døme 2

Ein funksjon f er gitt ved at f(x) = x² + 2. Vi ønskjer å finne den gjennomsnittlege vekstfarten for f når x veks frå x = 0,5 til x = 2.

Gjennomsnittleg vekstfart

Funksjonen viser høgda av eit morelltre i meter x år etter at det vart planta i 1986.

Gjennomsnittleg vekstfart per år frå 1987 til 1990:

Dette viser at i perioden 1987 til 1990 voks treet med gjennomsnittleg 39 cm per år.

  Vi ser av grafen at treet veks fortare etter 4 år enn etter 1 år. Grafen er mye brattare når x = 4 enn når x = 1.

Vi ønskjer å finne ein tilnærma verdi for kor fort treet veks når det er akkurat eitt år gammalt. Vi kallar dette for den momentane veksten når treet er eitt år.

Vi finn gjennomsnittleg vekstfart frå år 1 til år 3 og deretter frå år 1 til år 2.