Fagstoff

Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynom

Du har tidlegare lært å dividere tal. No skal vi dividere polynom. Framgangsmåten er ganske lik.

Polynomet $2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ er eit døme på eit tredjegradspolynom. Den høgste eksponenten har, er tre. Polynomet inneheld eit tredjegradsledd, eit andregradsledd, eit førstegradsledd og eit konstantledd.

Vi har sett at vi kan faktorisere andregradspolynom ved å bruke nullpunktmetoden. Vi må då løyse ei andregradslikning. Tilsvarande kan tredjegradspolynom faktoriserast ved først å løyse ein tredjegradslikning. Å løyse generelle tredjegradslikningar ligg utanfor kompetansemåla i 1T. Men det fins en metode som gjør oss istand til å løse mange tredjegradslikninger og alle som er aktuelle i 1T.

Vi har sett at for eit generelt andregradspolynom gjeld

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ der $x_{1}$ og $x_{2}$ er nullpunkt til $a x^{2} + b x + c$ .

Tilsvarande kan det visast at for eit generelt tredjegradspolynom gjeld

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})$

der $x_{1}$ , $x_{2}$ og $x_{3}$ er nullpunkta til $a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ .

Dette tyder at dersom vi kan finne eit nullpunkt $x_{1}$ , for tredjegradspolynomet (til dømes ved prøving og feiling), så veit vi at $(x - x_{1})$ må vere ein faktor i uttrykket. Med andre ord er det mogleg å dividere polynomet vårt med $(x - x_{1})$ . Dette blir kalla polynomdivisjon. Det vi då står igjen med er eit andregradspolynom som vi kan faktorisere ved å bruke nullpunktmetoden.

Du hugsar sikkert også at nokre divisjonar «gjekk opp». Vi fekk ingen rest når vi dividerte. I slike tilfelle kunne vi bruke resultatet av divisjonen til å faktorisere talet vi starta med.

Eksempel 1

Hugsar du korleis du rekna eit slikt delingsstykke?

$\begin{matrix} 9 & 3 & 8 & : & 7 & = & 1 & 3 & 4 \\ 7 \\ 2 & 3 \\ 2 & 1 \\ 2 & 8 \\ 2 & 8 \\ 0 \end{matrix}$

Dette betyr at $938 = 134 \cdot 7$ .

På tilsvarande måte skal vi bruke polynomdivisjon når vi skal faktorisere tredjegradspolynom.

La oss først sjå kva vi eigentleg gjer i divisjonsalgoritmen over.

938 er eigentleg ein forkorta skrivemåte for $900 + 30 + 8$ . Det vil seie 9 hundrarar pluss 3 tiarar pluss 8 einarar. Med pengar kan vi seie 9 hundrelappar pluss 3 tikronar pluss 8 kronestykke.

Når vi skal dele dette på 7, kan vi spørje kor mykje det blir på kvar.

Vi kan først spørje kor mange hundrarar det blir på kvar. Vi ser at det blir 1 (heil) hundrar på kvar.

Då har vi 2 hundrarar att som kan gjerast om til 20 tiarar. Då har vi til saman 23 tiarar som delt på 7 gir 3 (heile) tiarar på kvar.

Vi har då att 2 heile tiarar som vi kan gjere om til 20 einarar, slik at vi har til saman 28 einarar att. Deler vi desse på 7, blir det 4 einarar på kvar.

Det blir altså 1 hundrar, 3 tiarar og 4 einarar på kvar.

Det betyr, som vi såg over, at $938 : 7 = 134$ .

Algoritmen kan setjast opp slik:

$\begin{array}{cclcccccccccccc} (900 + 30 + 8) : 7 & = & 100 + 30 + 4 \\ - 700 \\ 200 + 30 + 8 \\ - (200 + 10) \\ 20 + 8 \\ - (20 + 8) \\ 0 \end{array}$

Differansen, eller resten, blir null, og divisjonen går opp, som vi seier.

Eksempel 2

Vi ser på tredjegradspolynomet $2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3$ .

Vi set inn $x = 1$ i polynomet og får

$2 \cdot 1^{3} - 7 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = 2 - 7 + 2 + 3 = 0$ .

Dette betyr at $x = 1$ er eit nullpunkt for polynomet. $(x - 1)$ er ein faktor i $(2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3)$ , og divisjonen $(2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3) : (x - 1)$ vil «gå opp».

Vi skal nå sjå på korleis vi utfører sjølve divisjonen.

Sjølve divisjonen	Forklaring
$\begin{matrix} ( & 2 & x^{3} & ⎯ & 7 & x^{2} & + & 2 & x & + & 3 & ) & : & ( & x & ⎯ & 1 & ) & = & 2 x^{2} ⎯ 5 x ⎯ 3 \\ ⎯ & ( & 2 & x^{3} & ⎯ & 2 & x^{2} & ) \\ ⎯ & 5 & x^{2} & + & 2 & x & + & 3 \\ ⎯ & ( & ⎯ & 5 & x^{2} & + & 5 & x & ) \\ ⎯ & 3 & x & + & 3 \\ ⎯ & ( & ⎯ & 3 & x & + & 3 & ) \\ 0 \end{matrix}$	$\begin{array}{l} 2 x^{3} : x = 2 x^{2} \\ (x ⎯ 1) \cdot 2 x^{2} = 2 x^{3} - 2 x^{2} \\ (2 x^{3} ⎯ 7 x + 2 x + 3) ⎯ (2 x^{3} ⎯ 2 x^{2}) = ⎯ 5 x^{2} + 2 x + 3 \\ ⎯ 5 x^{2} : x = ⎯ 5 x, (x ⎯ 1) \cdot (⎯ 5 x) = ⎯ 5 x^{2} + 5 x \\ ⎯ 5 x^{2} + 2 x + 3 ⎯ (⎯ 5 x^{2} + 5 x) = ⎯ 3 x + 3 \\ ⎯ 3 x : x = ⎯ 3, (x - 1) \cdot (⎯ 3) = ⎯ 3 x + 3 \\ ⎯ 3 x + 3 ⎯ (⎯ 3 x + 3) = 0 \end{array}$

Sjølve divisjonen

Forklaring

$\begin{matrix} ( & 2 & x^{3} & ⎯ & 7 & x^{2} & + & 2 & x & + & 3 & ) & : & ( & x & ⎯ & 1 & ) & = & 2 x^{2} ⎯ 5 x ⎯ 3 \\ ⎯ & ( & 2 & x^{3} & ⎯ & 2 & x^{2} & ) \\ ⎯ & 5 & x^{2} & + & 2 & x & + & 3 \\ ⎯ & ( & ⎯ & 5 & x^{2} & + & 5 & x & ) \\ ⎯ & 3 & x & + & 3 \\ ⎯ & ( & ⎯ & 3 & x & + & 3 & ) \\ 0 \end{matrix}$

$\begin{array}{l} 2 x^{3} : x = 2 x^{2} \\ (x ⎯ 1) \cdot 2 x^{2} = 2 x^{3} - 2 x^{2} \\ (2 x^{3} ⎯ 7 x + 2 x + 3) ⎯ (2 x^{3} ⎯ 2 x^{2}) = ⎯ 5 x^{2} + 2 x + 3 \\ ⎯ 5 x^{2} : x = ⎯ 5 x, (x ⎯ 1) \cdot (⎯ 5 x) = ⎯ 5 x^{2} + 5 x \\ ⎯ 5 x^{2} + 2 x + 3 ⎯ (⎯ 5 x^{2} + 5 x) = ⎯ 3 x + 3 \\ ⎯ 3 x : x = ⎯ 3, (x - 1) \cdot (⎯ 3) = ⎯ 3 x + 3 \\ ⎯ 3 x + 3 ⎯ (⎯ 3 x + 3) = 0 \end{array}$

Vi fekk "rest lik 0". Det betyr at divisjonen gjekk opp.

Vi kan då skrive

$2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 = (2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1)$ .

Tredjegradspolynomet er dermed faktorisert i eit andregradspolynom og eit førstegradspolynom. Andregradspolynomet kan vi no faktorisere vidare ved hjelp av nullpunktmetoden.

Vi set $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ .

Ved å bruke abc-formelen får vi

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 5 x - 3 & = & 0 \\ x & = & \frac{- (- 5) \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 3)}}{2 \cdot 2} \\ x & = & \frac{5 \pm 7}{4} \\ x_{1} & = & 3 x_{2} = - \frac{1}{2} \end{array}$

Det betyr at

$\begin{array}{rcl} 2 x^{2} - 5 x - 3 & = & 2 (x - 3) (x - (- \frac{1}{2})) \\ = & 2 (x - 3) (x + \frac{1}{2}) \\ = & (x - 3) (2 x + 1) \end{array}$

Her har vi multiplisert inn 2-talet i den siste parentesen.

Fullstendig faktorisering av tredjegradsuttrykket blir

$\begin{array}{rcl} 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 & = & (2 x^{2} - 5 x - 3) (x - 1) \\ = & (x - 3) (2 x + 1) (x - 1) \end{array}$

Vi får det same resultatet i CAS i GeoGebra ved å skrive inn tredjegradsuttrykket og bruke knappen for faktorisering.

$\begin{array}{rcl} 2 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x + 3 \\ 1 \\ Faktoriser : (x - 3) (x - 1) (2 x + 1) \end{array}$

CC BY-SASkrive av Olav Kristensen og Stein Aanensen.

Sist fagleg oppdatert 03.03.2020

Polynomdivisjon og faktorisering av tredjegradspolynom

Eksempel 1

Eksempel 2

Reglar for bruk