Likninger med rasjonale uttrykk

En brøk er ikke definert når nevneren er lik null. Vi må derfor være spesielt oppmerksomme når vi løser likninger med rasjonale uttrykk hvor den ukjente opptrer i nevneren.

Vi ser på følgende likning

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}=\frac{x-2}{x^2-4x+3}$

Fellesnevneren til disse brøkene er $2\left(x-1\right)\left(x-3\right)$.
Du kan se hvordan vi kommer fram til det i artikkelen: Mer om forenkling av rasjonale uttrykk, der vi har de samme brøkene.

Eventuelle løsninger som gir $x=1$ eller $x=3$ må da forkastes fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for disse $x$-verdiene. Før vi går i gang og løser likningen, markerer vi dette ved å skrive $x\ne 1, x\ne 3$, øverst til høyre. (Se nedenfor.)

Så går vi i gang med selve løsningen. Det første vi gjør, er å multiplisere med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet. Hvorfor er dette lurt? Jo, fordi vi da kan forkorte brøkene og står igjen med en likning uten brøker.

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}=\frac{x-2}{x^2-4x+3} , x\ne 1, x\ne 3$

$\begin{array}{rcl}\frac{1·\cancel{2}·\left(\cancel{x-1}\right)\left(x-3\right)}{\cancel{2}\left(\cancel{x-1}\right)}+\frac{2·2\left(x-1\right)\left(\cancel{x-3}\right)}{\cancel{x-3}}& = & \frac{(x-2)·2\left(\cancel{x-1}\right)\left(\cancel{x-3}\right)}{\left(\cancel{x-1}\right)\left(\cancel{x-3}\right)}\\ & & \\ x-3+4\left(x-1\right)& =& \left(x-2\right)·2\\ & & \\ x-3+4x-4& =& 2x-4\\ & & \\ x+4x-2x& =& -4+3+4\\ & & \\ 3x& =& 3\\ & & \\ x& =& 1\\ & & \end{array}$

Likningen har ingen løsning fordi en eller flere av brøkene ikke er definert for $x=1.$

Før vi går videre, skal vi se på en veldig viktig forskjell.

I artikkelen: Mer om forenkling av rasjonale uttrykk viser vi hvordan vi trekker sammen og forkorter uttrykket.

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}-\frac{x-2}{x^2-4x+3}$

På siden her har vi vist hvordan vi løser likningen

$\frac{1}{2x-2}+\frac{2}{x-3}=\frac{x-2}{x^2-4x+3}$

I begge tilfeller finner vi først fellesnevneren. Men hva gjør vi så?

Da vi løste likningen, multipliserte vi med fellesnevneren på begge sider av likhetstegnet og fikk en enkel likning uten brøker. Dette kan vi gjøre i en likning fordi vi kan multiplisere med samme uttrykk på begge sider i en likning og fortsatt beholde likhet mellom venstresiden og høyresiden.

Når vi skal trekke sammen og forkorte et uttrykk, kan vi imidlertid ikke multiplisere med fellesnevneren fordi uttrykket da endrer verdi. Det vi gjorde her, var å utvide hver av brøkene slik at alle fikk samme nevner, fellesnevneren. Så satte vi på felles brøkstrek og trakk sammen.

Åpne bilde i et nytt vindu

CC BY-NC-SA

Bilde: Olav Kristensen

Ved CAS i GeoGebra får vi også som resultat at likningen ikke har løsning. Legg merke til hvordan dette markeres forskjellig ettersom vi bruker kommandoene «Løs» eller «NLøs».