Fagstoff

Skalarproduktet

Publisert: 21.05.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

 

Til nå har vi funnet summen av vektorer, differansen mellom vektorer, og vi har multiplisert en vektor med et tall. I alle tilfeller har vi fått en ny vektor som resultat. 

Vi skal nå definere det som kalles skalarproduktet mellom vektorer. Det minner litt om multiplikasjon mellom tall, men siden tall og vektorer er forskjellige størrelser, er det ikke det samme. 

Skalarproduktet mellom to vektorer gir ikke en ny vektor som resultat, men en skalar. Derfor kalles det for skalarprodukt. Et annet navn er prikkprodukt. Vi sier at vi «prikker» to vektorer med hverandre. 

Bilde av en vinkel mellom to vektorer Merk!

Med vinkelen mellom to vektorer menes den minste vinkelen mellom dem når vektorene plasseres med samme utgangspunkt. 

Vinkelen mellom to vektorer er altså alltid mindre eller lik 180 grader.

Definisjon

 

Gitt to vektorer a og b. La α være vinkelen mellom vektorene. 

Skalarproduktet eller prikkproduktet mellom vektorene er definert som

 

a·b=a·b·cosα

 

Skalarproduktet mellom to vektorer finner vi altså ved å multiplisere lengdene til de to vektorene med cosinus til vinkelen mellom dem. 

 

Cosinus 

Bilde av sirkel Når du skal regne ut skalarproduktet mellom to vektorer, må du finne cosinus til vinkelen mellom vektorene. I 1T definerte vi cosinus til en vilkårlig vinkel ved hjelp av enhetssirkelen.
Se figur.

Du kan alltid finne cosinus til en vinkel ved å bruke et digitalt verktøy. Noen cosinusverdier bør du likevel klare å finne ved hjelp av enhetssirkelen. Slå opp i geometrikapittelet i 1T hvis du er usikker. Bruk enhetssirkelen og finn cos0°cos90° og cos180°

For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet negativt?

For hvilke vinkler er cosinusverdien, og dermed også skalarproduktet positivt?

Skalarproduktet har stor betydning i fysikkfaget. For eksempel er arbeid i fysikken definert som skalarproduktet mellom vektorene kraft og strekning.

Oppgaver

Generelt

Relatert innhold