Oppgave: Løsningsforslag

Medianene

Publisert: 21.05.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Løsning, Oppgave 4

Bilde av trekant

Vi tegner en ABC i GeoGebra.

a) Vi konstruerer så midtpunktene på sidene i trekanten og trekker linjestykkene fra hjørnene i trekanten til midtpunktene på motsatte sider.

Vi ser av figuren at alle medianene skjærer hverandre i ett punkt!

Bilde av trekant

 

b) Vi drar i hjørnene i trekanten slik at trekanten forandrer form.

De tre medianene skjærer hverandre i ett punkt uansett hvilken form trekanten har. Det felles skjæringspunktet ligger alltid inne i trekanten.

 

Bilde av trekant

c) Vi måler lengdene til de to delene som medianene ble delt i.

Det kan se ut som om den største delen alltid er dobbelt så lang som den minste delen. 

 

d) På grunnlag av observasjonene våre formulerer vi følgende hypotese:

De tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Dette skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2 : 1.

 

Bilde av trekant  e) Bevis

La ABC være en vilkårlig trekant. Medianene BE og CF skjærer hverandre i punktet S.

Siden F er midtpunktet på AB, må AB være dobbelt så lang som AF. Av samme grunn er forholdet mellom AC og AE også lik 2 : 1.

ABC og AFE er formlike fordi forholdet mellom to par av samsvarende sider er det samme, og vinkelen mellom de aktuelle sidene er den samme i begge trekantene.

Dette betyr at BCFE=21 og FEBC (FE er parallell med BC).

Videre er SBC og SEF formlike. BSC=ESF siden disse vinklene er toppvinkler. Vinklene α og βer like fordi de er samsvarende vinkler ved parallelle linjer, og av samme grunn er også vinklene δ og γ like.

Dette medfører at SBSE=SCSF=BCEF=21, og betyr at medianene BE og CF skjærer hverandre Bilde av trekant  i et punkt som deler medianene i forholdet 2 : 1.

Vi kan føre tilsvarende resonnement som ovenfor ved å ta utgangspunkt i medianene AD og BE.

Vi vil da se at medianene BE og AD skjærer hverandre i et punkt som deler disse medianene i forholdet 2 : 1.

Alle medianene må dermed skjære hverandre i ett punkt.

Vi har da vist at hypotesen er riktig og vi har følgende setning:

Setningen om medianene i en trekant

 

De tre medianene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.
Dette skjæringspunktet deler medianene i forholdet 2 : 1.

 

Dette punktet kalles trekantens tyngdepunkt.