Oppgave: Løsningsforslag

Høydene

Publisert: 21.05.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Bilde av trekanten ABC Løsning, Oppgave 3

Vi tegner en ABC i GeoGebra.

a) Vi konstruerer så de tre høydene i trekanten.

De tre høydene skjærer hverandre i ett punkt!

 

Bilde av trekant

 

b) Vi drar i hjørnene i trekanten slik at trekanten forandrer form.

De tre høydene, eller forlengelsene av dem,
møtes i ett punkt uansett hvilken form trekanten
har. Det felles skjæringspunktet ligger ikke alltid
inne i trekanten.

 

c) På grunnlag av observasjonene våre formulerer vi følgende hypotese:

Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.

 

d) Bevis

Bilde av trekant med konstruksjonene  La ABC være en vilkårlig trekant.
Vi konstruerer en linje gjennom C som er parallell med AB. Tilsvarende konstruerer vi en linje gjennom A som er parallell med BC og en linje gjennom B som er parallell med AC. Se figur.

Firkanten ABCD er et parallellogram. Det medfører at DC=AB. Firkanten ABFC er også et parallellogram, og CF=AB. Da er DC=CF, og
høyden fra C ABABC faller sammen med midtnormalen på siden FD i EFD, linjen g på figuren.

Vi kan tilsvarende vise at høyden fra BAC faller sammen med midtnormalen på siden EF og at høyden fra ABC faller sammen med midtnormalen på siden ED.

Vi vet at midtnormalene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Da må også høydene i ABC skjære hverandre i ett punkt siden de faller sammen med midtnormalene i EFD.

Vi har da vist at hypotesen er riktig og vi har følgende setning:

Setningen om høydene i en trekant

 

Høydene i en trekant skjærer hverandre i ett punkt.

 

Dette punktet kalles trekantens ortosenter.