Oppgave: Løsningsforslag

Vinkelhalveringslinjene og den innskrevne sirkelen

Publisert: 21.05.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Løsning, Oppgave 2

Bilde av trekant  Vi tegner en ABC i GeoGebra.

a) Vi konstruerer så halveringslinjene til vinklene i trekanten.

Vinkelhalveringslinjene skjærer hverandre i ett punkt!

 

b) Vi drar i hjørnene i trekanten slik at trekanten forandrer form.

Bilde av trekant Vinkelhalveringslinjene møtes i ett
punkt uansett hvilken form trekanten har. Det felles skjæringspunktet
ligger alltid inne i trekanten.

 

Bilde av trekant c) Vi nedfeller normalen fra skjæringspunktet S mellom vinkelhalveringslinjene til siden BC. Normalen skjærer BC i punktet D. Vi konstruerer så en sirkel med sentrum i S og radius SD.

Sirkelen tangerer alle sidene
i trekanten!

Bilde av trekant

 

 

d) Vi drar igjen i hjørnene i trekanten.

Sirkelen tangerer alle sidene i trekanten uansett hvilken form trekanten har. 

 

e) På grunnlag av observasjonene våre formulerer vi følgende hypotese:

I alle trekanter vil vinkelhalveringslinjene skjære hverandre i ett punkt. 

En sirkel med sentrum i dette felles skjæringspunktet S og med radius lik avstanden fra S til en av sidene i trekanten, vil også tangere de to andre sidene i trekanten.

 

f) Bevis

Bilde av trekant La ABC være en vilkårlig trekant.
Vi husker at vinkelhalveringslinjen er det geometriske stedet for alle de punktene som ligger like langt fra vinkelens bein.

La S være skjæringspunktet mellom halveringslinjene for CAB og ABC.
Da ligger S like langt fra AB som fra AC. S må også ligge like langt fra AB som fra BC. Da må avstanden fra S til AC og BC være lik, og dermed ligger S på halveringslinjen for ACB. Siden avstandene fra S til hver av sidene i trekanten er den samme, må S være sentrum i sirkelen.

Vi har da vist at hypotesen er riktig, og vi har følgende setning:

Setningen om vinkelhalveringslinjene i en trekant

I alle trekanter vil vinkelhalveringslinjene skjære hverandre i ett punkt.

 

En sirkel med sentrum i dette felles skjæringspunktet S og med radius lik avstanden fra S til en av sidene i trekanten, vil også tangere de to andre sidene i trekanten.

 

Vi kaller denne sirkelen for trekantens innskrevne sirkel.

 

Punktet hvor vinkelhalveringslinjene møtes, sentrum i den innskrevne sirkelen, kaller vi trekantens innsenter.