Fagstoff

Setningen om periferivinkler og Thales´ setning

Publisert: 16.05.2012, Oppdatert: 05.09.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

  

Bilde av Thales fra MiletKilde: http://no.wikipedia.org/wiki/ThalesI Wikipedia står følgende å lese om Thales fra Milet:

«Thales fra Milet (624–547 f.Kr) regnes for å være den første filosofen i vestlig filosofi/gresk filosofi som vi kjenner til, og far til vitenskapen.

Thales er den første greske filosofen, vitenskapsmannen
og matematikeren vi kjenner til, skjønt han hadde sitt virke som ingeniør. Han var den første naturfilosofen i den miletiske skolen. Ingen av hans verker har overlevd til i
dag, så det er vanskelig å være sikker på hans
matematiske oppdagelser. »

Noen definisjoner

Bilde av en sirkel En sentralvinkel i en sirkel er en vinkel med toppunkt i sirkelens sentrum. På figuren er BAC en sentralvinkel.

En periferivinkel i en sirkel er en vinkel med toppunkt på sirkelperiferien, plassert slik at hvert vinkelbein er enten sekant eller tangent til sirkelen.

På figuren er BDC en periferivinkel.

Den buen som en vinkel spenner over, er den del av sirkelperiferien som ligger mellom skjæringspunktene for vinkelens bein og sirkelperiferien.

På figuren spenner både sentralvinkelen BAC og periferivinkelen BDC over den samme buen, f,
markert med rødt.

Legg merke til at en sentralvinkel er like stor som den buen den spenner over!

 

Bilde av gutt med datamaskin Oppgave

Bruk GeoGebra og lag tilsvarende figur som vist ovenfor.
La B, C og D være frie punkter på sirkelperiferien. Velg knappen «Vinkel» og mål sentralvinkelen BAC og periferivinkelen BDC som spenner over den samme buen.

Dra i punktene B, C og D samtidig som du observerer størrelsen på vinklene du måler. Hva oppdager du?

Setningen om sentralvinkler og periferivinkler

 

Når en periferivinkel og en sentralvinkel i en sirkel spenner over den samme sirkelbuen, er sentralvinkelen dobbelt så stor som periferivinkelen.

 

Alle periferivinkler som spenner over samme bue, er like store.

Ca 550 år f.Kr. formulerte Thales en setning som er et spesialtilfelle av setningen om sentralvinkler og periferivinkler.

Thales´ setning

 

En periferivinkel som spenner over en bue på 180°, er 90°.

 

Bevis for setningen om sentralvinkler og periferivinkler

Bilde av sirkel La A, B og D være tilfeldige punkter på sirkelperiferien til en sirkel med sentrum i O. La B
og D ligge på hver sin side av diameteren gjennom AO. Vi skal vise at sentralvinkelen BOD er dobbelt
så stor som periferivinkelen BAD.

Vi trekker diameteren gjennom AO som en
hjelpelinje, og kaller OAB for v.

Vi ser av figuren at OAB=OBA=v fordi OAB er likebenet. Siden vinkelsummen i en
trekant alltid er 180°, vil AOB=180°-2v. 

Vi får da

BOC=180°-AOB=180°-180°-2v=2v.

Tilsvarende er DOC dobbelt så stor som DAC.

Vi har da vist at BOD=2·BAD.

Bilde av sirkel I beviset ovenfor forutsatte vi at B og D lå på hver sin side av diameteren gjennom AO. Vi skal nå la ett av punktene, for eksempel B, ligge på diameteren slik at B og C blir sammenfallende.

Samme argumenter som ovenfor viser at også nå er BOD=2·BAD.

 


      

Vi må til slutt se på det tilfelle at B og D ligger på samme side av diameteren gjennom AO.

Bilde av en sirkel  På grunnlag av det vi til nå har bevist, kan vi sette opp
COD=2·CAD  og  COB=2·CAB.

Dette medfører at

BOD=COD-COB        =2·CAD-2·CAB        =2·CAD-CAB        =2·BAD