Fagstoff

Ulike bevis for Pytagoras’ setning

Publisert: 16.05.2012, Oppdatert: 04.03.2017
  • Innbygg
  • Enkel visning
  • Lytt til tekst
  • Skriv ut

Det finnes mange bevis for Pytagoras setning. Vi skal først se på et der vi tar utgangspunkt i formlike trekanter.

Bevis ved hjelp av formlike trekanter 

Bilde av en rettvinklet trekant La ABC være en rettvinklet trekant der C=90°. Trekanten har sidelengder a, b og c. Ved å nedfelle normalen fra C på linjestykket AB, får vi til sammen tre formlike trekanter.

ABC er formlik med ACD siden A er felles, og begge trekantene har en vinkel på 90°.

ABC er også formlik med CBD siden B er felles, og begge trekantene har en vinkel på 90°. Da må også ACD og CBD være formlike.
Vi setter AD=x og DB=y.

Siden forholdet mellom samsvarende sider i formlike trekanter er det samme, gjelder

     ac=ya    og    bc=xb ac·c=ya·c   og   bc·c=xb·c ac·c=ya·c   og   bc·c=xb·ca·a=y·ca·a   og   b·b=x·cb·b      a2=y·c   og   b2=x·c

Vi adderer de to likningene. Siden AD+DB=AB, er x+y=c. 

Dette medfører at

a2+b2=y·c+x·c=y+x·c=c·c=c2

Geometrisk bevis / arealbetraktningerPytagoras’ setning  

Lag et kvadrat med sidelengder a+b. Se figur. Du kan for eksempel klippe ut av et stivt papir, eller du kan tegne i GeoGebra.

Del sidelengdene i to deler a og b, trekk linjer (klipp ut) som figuren viser, slik at du får 4 kongruente rettvinklede trekanter. Hypotenusen i trekantene kaller du c.

Det lyseblå arealet er et kvadrat. Hvorfor? Kvadratet har sidelengde c og areal a2. 

 

Pytagoras’ setning Flytt på trekantene inne i det store kvadratet som vist på neste figur. (I GeoGebra lager du en ny tegning. Bruk rutenett.)

Arealet i de to store kvadratene er like store siden sidelengdene er lik a+b.

Samlet areal til de 4 rettvinklede trekantene er like store i begge figurene.

Det må bety at det lyseblå arealet i de to figurene er like stort, altså at a2+b2=c2. Dette er nettopp Pytagoras' setning for rettvinklede trekanter.
 

Pytagoras’ setning  

Algebraisk bevis

Ved å ta utgangspunkt i den samme figuren som ovenfor, kan vi føre et algebraisk bevis på følgende måte:

    a+b2=c2+4·a·b2a2+2ab+b2=c2+2ab      a2+b2=c2

 


Gammelt kinesisk bevis

I 3000 år gamle kinesiske skrifter finner vi figuren til høyre.

Bilde av kvadrat Gitt den øverste rettvinklede trekanten med sidelengder a, b og c. a deles i to deler, den ene med lengde b og den andre med lengde a-b.

Vi lager et kvadrat ABCD som figuren viser. Sidelengdene i kvadratet forlenges med lengden b. Det gir opphav til tre nye trekanter, alle kongruente med den opprinnelige trekanten. 

Til sammen danner alle figurene et nytt kvadrat. Hvorfor? 

Arealet av det nye kvadratet er summen av arealene til det innerste kvadratet og de fire trekantene rundt, og vi får

c2=a-b2+4·12·a·bc2=a2-2ab+b2+2abc2=a2+b2

c2=a-b2+4·12·a·bc2=a2-2ab+b2+2abc2=a2+b2

President Garfields bevis

Bilde av firkanten Den amerikanske presidenten Garfield er kjent for i 1876 å ha oppdaget et pent bevis for Pytagoras´ setning.

Gitt ABC med sidelengder a, b og c og B=90°CDE er kongruent med ABC og konstrueres slik at CD er en forlengelse av BC. Setningen om at vinkelsummen i en trekant alltid er 180°, gir grunnlag for å vise at i ACE er ACE=90°.

Arealet av trapeset ABDE kan regnes ut på to måter:

  • Ved å bruke trapesformelen:
    Arealet=a+b2a+b
  • Ved å regne ut arealene til de tre trekantene:
    Arealet=2·a·b2+c·c2

Disse to uttrykkene må være like, og vi får

a+b2a+b=2·a·b2+c·c2     ·2      a+b2=2ab+c2a2+2ab+b2=2ab+c2                a2+b2=c2

Oppgaver

Generelt