Fagstoff

Bruk av formlikhet

Formlikhet kan brukes til å beregne ukjente sider i trekanter.

Eksempel 1

Bilde av figurem som det henvises til i eksempelet nedenfor  Et tre står på en horisontal slette. Vi skal finne ut hvor høyt treet er ved hjelp av sola og et metermål.

Vi setter en pinne loddrett ned i bakken litt bortenfor treet og måler avstanden skyggen kaster ved pinnen og ved treet.

Figuren viser de to formlike trekantene vi får. Hvorfor er trekantene formlike?

Alternativ 1

Vi setter høyden av treet lik x, og får

x0,80=151,5      x=151,5·0,80      x=8,0

Treet er 8,0 meter høyt.

Alternativ 2

Vi kan først regne ut det lineære forholdstallet (målestokken).

15 m1,5 m=10

Det betyr at høyden av treet er 0,80 m·10=8,0 m.

Eksempel 2

Bilde av figuren som hensvises til i teksten

Gitt ABC og DEC som vist på figuren til høyre. AB og ED er parallelle. AD og BE går begge gjennom C.

Vis at ABC og DEC er formlike, og bruk dette til å regne ut lengden av en av de ukjente sidene i ABC.

Løsning

ACB=DCE siden disse er toppvinkler. B=E fordi disse er samsvarende vinkler ved parallelle vinkelbein. Sidene BC og
EC
er da samsvarende sider. Hvorfor? Det samme er sidene AB og DE.

Dette gir oss to like forhold

             BCEC=ABDE     BC45,0 cm=150 cm60,0 cmBC·45,0 cm45,0 cm=150 cm·45,0 cm60,0 cm              BC=113 cm

Som du ser, fikk vi her bruk for setningen om toppvinkler og setningen om samsvarende vinkler ved parallelle linjer. Hvis du har behov for å repetere litt når det gjelder vinkler og formlikhet, kan du finne fram kapittel 2.1 fra 1T.

I eksempelet nedenfor ser du hvordan vi kan bruke formlikhet og bestemme lengden av et linjestykke ved konstruksjon.

Eksempel 3

Bestem ved konstruksjon lengden av linjestykket x slik at x3=57.

Konstruksjon i GeoGebra 

Bilde av konstruert trekant Konstruksjonsforklaring 

Avsetter linjestykkene AB=7,0 og AC=5,0. C ligger på AB.

  1. Avsetter linjestykket AD=3,0. D ligger ikke på AB.
  2. Trekker BD og en linje gjennom C parallell med BD.
  3. Kaller skjæringspunktet mellom denne linja og AD for E.

Da er ACE formlik med ABD siden vinklene i de to trekantene er parvis like store.

Vi har da

AEAD=ACABx3,0=5,07,0

Utregning viser at x=AE=2,14