Omforme en sirkellikning ved å bruke fullstendige kvadraters metode

Men, en sirkel kan også for eksempel være gitt ved   

Hvordan kan vi se at dette er likningen for en sirkel? Og - hvordan kan vi finne sentrum og radius i sirkelen?

Siden både x og y er opphøyd i andre potens (og har like koeffisienter), må dette være likningen for en sirkel.

For å finne sentrum og radius i sirkelen, må vi skrive om likningen slik at vi får den på formen . 

Uttrykkene  og  kalles fullstendige kvadrater.  

I 1T lærte du å skrive om uttrykk for å lage fullstendige kvadrater. Nedenfor har vi tatt med to eksempler, men hvis du er usikker, bør du finne fram kapittelet «Tall og algebra» fra 1T og repetere dette skikkelig!

Eksempel 1

Er  et fullstendig kvadrat?

Løsning

Her er førstegradsleddet negativt. Vi må derfor prøve med andre kvadratsetning.

Siden andregradsleddet er x² og konstantleddet er 9, må  og .

Vi må da sjekke om førstegradsleddet er «det dobbelte produkt», det vil si 2ab.

Her er , altså lik førstegradsleddet i uttrykket .

Da er  og vi har et fullstendig kvadrat.

Eksempel 2

Legg til et konstantledd slik at uttrykket  blir et fullstendig kvadrat.

Løsning  

Her er førstegradsleddet positivt. Vi må derfor bruke første kvadratsetning.

Siden andregradsleddet er x², må .

«Det dobbelte produktet», .

Da er

Vi får da at  og det fullstendige kvadratet blir

Så tilbake til sirkelen gitt ved likningen

Vi sorterer leddene, og legger til det vi mangler for å få fullstendige kvadrater.

Dette er altså likningen for en sirkel med sentrum i  og radius .