Fagstoff

Omforme en sirkellikning ved å bruke fullstendige kvadraters metode

Men, en sirkel kan også for eksempel være gitt ved Tenkeboble en sirkel i planet  

x2+2x+y2-6y=-1

Hvordan kan vi se at dette er likningen for en sirkel? Og - hvordan kan vi finne sentrum og radius i sirkelen?

Siden både x og y er opphøyd i andre potens (og har like koeffisienter), må dette være likningen for en sirkel.

For å finne sentrum og radius i sirkelen, må vi skrive om likningen slik at vi får den på formen x-x02+y-y0=r2

Tenkeboble en sirkel i planet eksempel 2 Uttrykkene x-x02 og y-y02 kalles fullstendige kvadrater.  

I 1T lærte du å skrive om uttrykk for å lage fullstendige kvadrater. Nedenfor har vi tatt med to eksempler, men hvis du er usikker, bør du finne fram kapittelet «Tall og algebra» fra 1T og repetere dette skikkelig!

Eksempel 1

Er x2-6x+9 et fullstendig kvadrat?

LøsningTenkeboble andre kvadratsetning

Her er førstegradsleddet negativt. Vi må derfor prøve med andre kvadratsetning.

Siden andregradsleddet er x2 og konstantleddet er 9, må a=x2=x og b=9=3 .

Vi må da sjekke om førstegradsleddet er «det dobbelte produkt», det vil si 2ab.

Her er 2ab=2·x·3=6x, altså lik førstegradsleddet i uttrykket x2-6x+9.

Da er x2-6x+9=x-32 og vi har et fullstendig kvadrat.

Eksempel 2

Legg til et konstantledd slik at uttrykket x2+10x blir et fullstendig kvadrat.

LøsningTenkeboble første kvadratsetning  

Her er førstegradsleddet positivt. Vi må derfor bruke første kvadratsetning.

Siden andregradsleddet er x2, må a=x2=x.

«Det dobbelte produktet», 2ab=10x.

Da er

b=10x2a=10x2x=5

Vi får da at b2=25 og det fullstendige kvadratet blir

 x2+10x+25=x+52

Tenkeboble fullstendige kvadrater  

Så tilbake til sirkelen gitt ved likningen

x2+2x+y2-6y=-1

Vi sorterer leddene, og legger til det vi mangler for å få fullstendige kvadrater.

Tenkeboble likning     

Dette er altså likningen for en sirkel med sentrum i -1,3 og radius r=3.

Sirkel i planet eksempel 2